Pendel/Geführte Bewegung/Beispiel

Wir betrachten ein Pendel. Das Pendel habe die Länge ${}r$ und sei im Punkt ${}(0,r)$ fest aufgehängt. Die Bahn des Pendels, also der Ort, wo der Endpunkt des Pendels schwingt, ist der Kreis mit diesem Mittelpunkt und dem Radius ${}r$. Diese Bahn ist der Graph der Funktion

${}f(x)=r-{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}\,,$

und es handelt sich um eine geführte Bewegung im Sinne von Fakt. Hier ist es einfacher, die Bewegungsgleichung nicht als ${}x(t)$ anzusetzen, sondern als eine Bedingung für den (Ausschlags-) Winkel der Bewegung, also als ${}\alpha (t)$, wobei der Winkel zwischen dem vertikalen Lot und dem Auslenkungsfaden gemessen wird. Es besteht der Zusammenhang

${}x(t)=r\sin \alpha (t)\,.$

Der Winkel ${}\alpha$ ist auch die Länge des Bogens, vom Tiefpunkt aus gemessen. Mit der Gravitationskraft ${}g$ ergibt sich die Differentialgleichung

${}\alpha ^{\prime \prime }=-{\frac {g}{r}}\sin \alpha \,.$

Dies erhält man auch aus Fakt. Es ist

${}f'(x)={\frac {x}{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}}\,$

und

${}f^{\prime \prime }(x)={\frac {r^{2}}{{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}^{3}}}\,.$

Die allgemeine Bewegungsgleichung

${}x^{\prime \prime }(t)={\frac {-gf'(x(t))-f'(x(t))f^{\prime \prime }(x(t))(x'(t))^{2}}{1+f'(x(t))^{2}}}\,$

wird in diesem Fall zu

${}{\begin{aligned}x^{\prime \prime }&={\frac {-g{\frac {x}{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}}-{\frac {x}{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}}\cdot {\frac {r^{2}}{{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}^{3}}}x'^{2}}{1+{\frac {x^{2}}{r^{2}-x^{2}}}}}\\&={\frac {-gx{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}-x\cdot {\frac {r^{2}}{r^{2}-x^{2}}}x'^{2}}{r^{2}}}\\&=-{\frac {gx{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}}{r^{2}}}-\cdot {\frac {xx'^{2}}{r^{2}-x^{2}}}.\end{aligned}}$

Mit

${}x(t)=r\sin \alpha (t)\,$

ist die linke Seite gleich

${}x^{\prime \prime }(t)={\left(r\sin \alpha (t)\right)}^{\prime \prime }=r{\left(\cos \alpha (t)\cdot \alpha '(t)\right)}^{\prime }=r{\left(\cos \alpha (t)\cdot \alpha ^{\prime \prime }(t)-\sin \alpha (t)\cdot \alpha '(t)^{2}\right)}\,$

und unter Verwendung von

${}f'(x(t))={\frac {\sin \alpha (t)}{\cos \alpha (t)}}\,$

und

${}f^{\prime \prime }(x(t))={\frac {r^{2}}{{\sqrt {r^{2}-r^{2}\sin ^{2}\alpha (t)}}^{3}}}={\frac {1}{r\cos ^{3}\alpha (t)}}\,$

ist die rechte Seite gleich

${}{\begin{aligned}{\frac {-gf'(x(t))-f'(x(t))f^{\prime \prime }(x(t))(x'(t))^{2}}{1+f'(x(t))^{2}}}&={\frac {-g{\frac {\sin \alpha (t)}{\cos \alpha (t)}}-{\frac {\sin \alpha (t)}{\cos \alpha (t)}}\cdot {\frac {1}{r\cos ^{3}\alpha (t)}}r^{2}{\left(\cos ^{2}\alpha (t)\right)}\alpha '(t)^{2}}{1+{\frac {\sin ^{2}\alpha (t)}{\cos ^{2}\alpha (t)}}}}\\&=-g\sin \alpha (t)\cos \alpha (t)-r\sin \alpha (t)\alpha '(t)^{2}.\end{aligned}}$

Der Term ${}-r\sin \alpha (t)\alpha '(t)^{2}$ kommt beidseitig vor, also ist

${}r\cos \alpha (t)\cdot \alpha ^{\prime \prime }(t)=-g\sin \alpha (t)\cos \alpha (t)\,$

und Division durch ${}r\cos \alpha (t)$ ergibt

${}\alpha ^{\prime \prime }(t)=-{\frac {g}{r}}\sin \alpha (t)\,.$