Geführte Bewegung/Funktionsgraph/Fakt

Es sei ${}I\subseteq \mathbb {R}$ ein reelles Intervall und ${}f\colon I\rightarrow \mathbb {R}$ eine zweimal differenzierbare Funktion.

Dann genügt eine Funktion

$x\colon I\longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto x(t),$

die die horizontale Komponente einer Bewegung eines Masseteilchens auf dem Graphen von ${}f$ beschreibt, die durch die konstante vertikale Schwerkraft ${}g$ hervorgerufen wird, der Differentialgleichung

${}x^{\prime \prime }(t)={\frac {-gf'(x(t))-f'(x(t))f^{\prime \prime }(x(t))(x'(t))^{2}}{1+f'(x(t))^{2}}}\,.$

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen