Periodische Funktion/Komplexe Exponentialfunktion/Vollständiges Orthonormalsystem/L^2-Raum/Fakt

Es sei ${}T>0$ und ${}\omega ={\frac {2\pi }{T}}$.

Dann bildet die Familie

${}f_{n}={\frac {1}{\sqrt {T}}}e^{\omega {\mathrm {i} }nx}\,$

zu ${}n\in \mathbb {Z}$ ein vollständiges Orthonormalsystem im Hilbertraum ${}L^{2}([0,T],{\mathbb {C} })$.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen