Permutationen/1357642/Verschiedene Eigenschaften/Aufgabe/Lösung

(1) Es geht ${}1\mapsto 1$ und ${}2\mapsto 3\mapsto 5\mapsto 6\mapsto 4\mapsto 7\mapsto 2$, die Zyklendarstellung ist also

$\langle 2,3,5,6,4,7\rangle$

und der Wirkungsbereich ist ${}\{2,3,4,5,6,7\}$.

(2) Die Permutation ${}\tau ^{3}$ ist gegeben durch die Wertetabelle

${}x$	${}1$	${}2$	${}3$	${}4$	${}5$	${}6$	${}7$
${}\tau ^{3}(x)$	${}1$	${}6$	${}4$	${}3$	${}7$	${}2$	${}5$

Hier liegt die Zyklendarstellung

$\langle 2,6\rangle \langle 3,4\rangle \langle 5,7\rangle$

vor. Das Quadrat davon, also ${}(\tau ^{3})^{2}$ ist die Identität, so dass die Ordnung davon zwei ist.

(3) Die Fehlstände von ${}\tau$ sind

$(2,7),\,(3,6),\,(3,7),\,(4,5),\,(4,6),\,(4,7),\,(5,6),\,(5,7),\,(6,7).$

Das sind insgesamt ${}9$ Fehlstände, daher

ist das Vorzeichen ${}-1$.

(4) Es ist, wie man leicht überprüft,

$\tau =\langle 3,5\rangle \circ \langle 5,6\rangle \circ \langle 6,4\rangle \circ \langle 4,7\rangle \circ \langle 7,2\rangle .$

Dies ist das Produkt von ${}5$ Transpositionen, so dass sich erneut ergibt, dass das Vorzeichen ${}-1$ ist.

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