Permutationsgruppe/Prim/Untergruppe/Transitiv und Transposition/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei  ${}M={\{1,\ldots ,p\}}$.  Wir betrachten Teilmengen  ${}T\subseteq M$  derart, dass  ${}S(T)\subseteq H$  ist, und wollen  ${}T=M$  zeigen. Es sei dazu ${}T_{1}$ eine solche Teilmenge mit maximaler Elementanzahl, die wir ${}k$ nennen. Da es mindestens eine Transposition in ${}H$ gibt, ist  ${}k\geq 2$.  Für jedes  ${}\sigma \in H$  ist  ${}T_{\sigma }=\sigma (T_{1})$  ebenfalls eine ${}k$-elementige Menge mit  ${}S(T_{\sigma })\subseteq H$.  Für  ${}\tau \in S(T_{\sigma })$  ist nämlich

${}\tau =\sigma (\sigma ^{-1}\tau \sigma )\sigma ^{-1}\,,$

und ${}\sigma ^{-1}\tau \sigma$ ist eine Permutation auf ${}T_{1}$, sodass sie zu ${}H$ gehört und damit auch  ${}\tau \in H$  gilt. Für Permutationen  ${}\sigma _{1},\sigma _{2}\in H$  ist entweder  ${}T_{\sigma _{1}}=T_{\sigma _{2}}$  oder  ${}T_{\sigma _{1}}\cap T_{\sigma _{2}}=\emptyset$,  da andernfalls nach Fakt  ${}S(T_{1}\cup T_{2})\subseteq H$  wäre im Widerspruch zur Maximalität von ${}k$. Es sei nun  ${}x\in M$  vorgegeben und ein  ${}y\in T_{1}$  fixiert. Aufgrund der Transitivität gibt es ein  ${}\sigma \in H$  mit  ${}\sigma (y)=x$.  Dann ist natürlich  ${}x\in T_{\sigma }$.  Das bedeutet, dass die Mengen ${}T_{\sigma }$, ${}\sigma \in H$, die Gesamtmenge ${}M$ überdecken. Wegen der Gleichmächtigkeit dieser Mengen ist ${}p$ ein Vielfaches von ${}k$ und somit ist  ${}p=k$,  also  ${}M=T_{1}$. 

Zur bewiesenen Aussage