Picard-Lindelöf/Zeitunabhängig/Bemerkung

Zu einem ortsunabhängigen Vektorfeld

$F\colon I\times \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{n},\,(t,v)\longmapsto F(t,v)=F(t),$

und der Anfangsbedingung  ${}v(t_{0})=w$  führt die erste Picard-Lindelöf-Iteration auf

${}\varphi _{1}(t)=w+\int _{t_{0}}^{t}F(s,w)ds=w+\int _{t_{0}}^{t}F(s)ds=w+G(t)\,,$

wobei ${}G(t)$ eine Stammkurve zu ${}F(t)$ mit  ${}G(t_{0})=0$  sei. Die erste Iteration liefert hier also direkt die Lösung. Die kontrahierende Abbildung im Beweis zu Fakt ist in dieser Situation konstant.