Picard-Lindelöf/Zeitunabhängig/Bemerkung

Zu einem ortsunabhängigen Vektorfeld

$F:I\times {ℝ}^n⟶{ℝ}^n,(t,v)⟼F(t,v)=F(t),$

und der Anfangsbedingung  $v(t_0)=w$  führt die erste Picard-Lindelöf-Iteration auf

${\phi }_1(t)=w+{\int }_{t_0}^{t}F(s,w)ds=w+{\int }_{t_0}^{t}F(s)ds=w+G(t),$

wobei $G(t)$ eine Stammkurve zu $F(t)$ mit  $G(t_0)=0$  sei. Die erste Iteration liefert hier also direkt die Lösung. Die kontrahierende Abbildung im Beweis zu Fakt ist in dieser Situation konstant.