Picard Lindelöf/Lokal Lipschitz/Lokale Existenz und Eindeutigkeit/Fakt

Der Satz von Picard-Lindelöf

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum,  $I\subseteq ℝ$  ein reelles Intervall,  $U\subseteq V$  eine offene Menge und

$f:I\times U⟶V,(t,v)⟼f(t,v),$

ein Vektorfeld auf $U$. Es sei vorausgesetzt, dass dieses Vektorfeld stetig sei und lokal einer Lipschitz-Bedingung genüge.

Dann gibt es zu jedem  $(t_0,w)\in I\times U$  ein offenes Intervall $J$ mit $t_0\in J\subseteq I$ derart, dass auf diesem Intervall eine eindeutige Lösung für das Anfangswertproblem

$v^{\prime }=f(t,v)\text{ und }v(t_0)=w$

existiert.

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