Picard Lindelöf/Lokal Lipschitz/Lokale Existenz und Eindeutigkeit/Fakt

Der Satz von Picard-Lindelöf

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum,  ${}I\subseteq \mathbb {R}$  ein reelles Intervall,  ${}U\subseteq V$  eine offene Menge und

$f\colon I\times U\longrightarrow V,\,(t,v)\longmapsto f(t,v),$

ein Vektorfeld auf ${}U$. Es sei vorausgesetzt, dass dieses Vektorfeld stetig sei und lokal einer Lipschitz-Bedingung genüge.

Dann gibt es zu jedem  ${}(t_{0},w)\in I\times U$  ein offenes Intervall ${}J$ mit ${}t_{0}\in J\subseteq I$ derart, dass auf diesem Intervall eine eindeutige Lösung für das Anfangswertproblem

$v'=f(t,v){\text{ und }}v(t_{0})=w$

existiert.

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