Polynom/C und R/0 als einzige Nullstelle/Aufgabe

a) Es sei  ${}F\in K[X]$  ein Polynom über einem Körper ${}K$ der Form

${}F=aX^{n}\,$

mit  ${}n\in \mathbb {N} _{+}$  und  ${}a\neq 0$.  Zeige, dass ${}F$ die ${}0$ als einzige Nullstelle besitzt.

b) Es sei  ${}F\in {\mathbb {C} }[X]$  ein Polynom mit der Eigenschaft, dass ${}0$ die einzige komplexe Nullstelle von ${}F$ ist. Zeige, dass ${}F$ die Form

${}F=aX^{n}\,$

mit  ${}n\in \mathbb {N} _{+}$  und  ${}a\neq 0$  hat.

c) Man gebe ein Beispiel für ein reelles Polynom  ${}F\in \mathbb {R} [X]$  mit der Eigenschaft, dass ${}0$ die einzige reelle Nullstelle von ${}F$ ist, dass ${}F$ aber nicht die Gestalt aus Teil (1) besitzt.

Zur Lösung, Alternative Lösung erstellen