Polynom/C und R/0 als einzige Nullstelle/Aufgabe/Lösung

1. Die angegebenen Polynome haben die gewünschte Eigenschaft über jedem Körper nach Fakt. Aus ${}ax^{n}=0$ folgt zunächst ${}x^{n}=0$ und daraus ${}x=0$.
2. Es sei ${}F\in {\mathbb {C} }[X]$ ein Polynom mit der angegebenen Nullstelleneigenschaft. Wenn ${}F$ konstant ist, so besitzt ${}F$ bei ${}F=0$ jedes Element als Nullstelle und bei ${}F=c\neq 0$ überhaupt keine Nullstelle. Der Grad von ${}F$ muss also zumindest ${}1$ sein. Nach dem Fundamentalsatz der Algebra besitzt ${}F$ eine Faktorzerlegung

   ${}F=a(X-b_{1})\cdots (X-b_{n})\,$

   mit ${}a,b_{1},\ldots ,b_{n}\in {\mathbb {C} },\,a\neq 0$. Die ${}b_{i}$ sind die Nullstellen von ${}F$. Da diese alle ${}0$ sein sollen, ist

   ${}F=aX^{n}\,.$

3. Wir betrachten

   ${}F=X^{3}+X=X{\left(X^{2}+1\right)}\,,$

   das nicht die Form aus Teil (1) besitzt. Eine Nullstelle dieses Polynoms ist die Nullstelle eines Faktors. Das Polynom ${}X^{2}+1$ ist reell immer positiv und somit nullstellenfrei, also ist ${}0$ die einzige Nullstelle von ${}F$.

Zur gelösten Aufgabe