a) Die angegebenen Polynome haben die gewünschte Eigenschaft über jedem Körper nach
Fakt.
Aus
folgt zunächst
und daraus
.
b) Es sei
ein Polynom mit der angegebenen Nullstelleneigenschaft. Wenn
konstant ist, so besitzt
bei
jedes Element als Nullstelle und bei
überhaupt keine Nullstelle. Der Grad von
muss also zumindest
sein. Nach
dem Fundamentalsatz der Algebra
besitzt
eine Faktorzerlegung
-

mit
. Die
sind die Nullstellen von
. Da diese alle
sein sollen, ist
-

c) Wir betrachten
-

das nicht die Form aus Teil (1) besitzt. Eine Nullstelle dieses Polynoms ist die Nullstelle eines Faktors. Das Polynom

ist reell immer positiv und somit nullstellenfrei, also ist

die einzige Nullstelle von

.