Polynom/C und R/0 als einzige Nullstelle/Aufgabe/Lösung

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  1. Die angegebenen Polynome haben die gewünschte Eigenschaft über jedem Körper nach Fakt. Aus folgt zunächst und daraus .
  2. Es sei ein Polynom mit der angegebenen Nullstelleneigenschaft. Wenn konstant ist, so besitzt bei jedes Element als Nullstelle und bei überhaupt keine Nullstelle. Der Grad von muss also zumindest sein. Nach dem Fundamentalsatz der Algebra besitzt eine Faktorzerlegung

    mit . Die sind die Nullstellen von . Da diese alle sein sollen, ist

  3. Wir betrachten

    das nicht die Form aus Teil (1) besitzt. Eine Nullstelle dieses Polynoms ist die Nullstelle eines Faktors. Das Polynom ist reell immer positiv und somit nullstellenfrei, also ist die einzige Nullstelle von .

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