Polynom/Geradeneinsetzung/Formel/Fakt/Beweis

Beweis

Es ist

$f=\sum _{d=0}^m{f}_d$

mit

$f_d=\sum _{\nu :|\nu |=d}{c}_{\nu }{X}^{\nu }.$

Die Einsetzung für ein Monom $X^{\nu }$ ergibt nach dem Distributivgesetz

$\begin{array}{cc}{\alpha }_1^{{\nu }_1}\cdots {\alpha }_n^{{\nu }_n}& ={(a_{1}t+b_1)}^{{\nu }_1}\cdots {(a_{n}t+b_n)}^{{\nu }_n}\\ & =a_1^{{\nu }_1}\cdots a_n^{{\nu }_n}{t}^{{\nu }_1+\cdots +{\nu }_n}+\sum _{j=0}^{|\nu |-1}{h}_j(a_1,\dots ,a_n,b_1,\dots ,b_n)t^j\end{array}$

mit Polynomen $h_j$ in den $a_i,b_i$. Die Monome von einem bestimmten Grad tragen nach der Einsetzung zu diesem Grad und zu den kleineren Graden bei, aber nicht zu einem höheren Grad. Daher hat $f_{\alpha }$ maximal den Grad $m$ und sein Leitkoeffizient (vorausgesetzt, dass dieser Term nicht $0$ ist) ist

$\sum _{|\nu |=m}{c}_{\nu }{a}^{\nu }=f_m(a_1,\dots ,a_n).$

Wegen  $f_m\ne 0$  gibt es (bei $K$ unendlich) Punkte  $(a_1,\dots ,a_n)\in K^n$  mit

$f_m(a_1,\dots ,a_n)\ne 0,$

und dies gilt auf der Zariski-offenen Menge $V\left(f_m\right)$ im Parameterraum.

Zur bewiesenen Aussage