Polynom/Geradeneinsetzung/Formel/Fakt/Beweis

Beweis

Es ist

${}f=\sum _{d=0}^{m}f_{d}\,$

mit

${}f_{d}=\sum _{\nu :\,\vert {\,\nu \,}\vert =d}c_{\nu }X^{\nu }\,.$

Die Einsetzung für ein Monom ${}X^{\nu }$ ergibt nach dem Distributivgesetz

${}{\begin{aligned}\alpha _{1}^{\nu _{1}}\cdots \alpha _{n}^{\nu _{n}}&={\left(a_{1}t+b_{1}\right)}^{\nu _{1}}\cdots {\left(a_{n}t+b_{n}\right)}^{\nu _{n}}\\&=a_{1}^{\nu _{1}}\cdots a_{n}^{\nu _{n}}t^{\nu _{1}+\cdots +\nu _{n}}+\sum _{j=0}^{\vert {\,\nu \,}\vert -1}h_{j}(a_{1},\ldots ,a_{n},b_{1},\ldots ,b_{n})t^{j}\end{aligned}}$

mit Polynomen ${}h_{j}$ in den ${}a_{i},b_{i}$. Die Monome von einem bestimmten Grad tragen nach der Einsetzung zu diesem Grad und zu den kleineren Graden bei, aber nicht zu einem höheren Grad. Daher hat ${}f_{\alpha }$ maximal den Grad ${}m$ und sein Leitkoeffizient (vorausgesetzt, dass dieser Term nicht ${}0$ ist), ist

${}\sum _{\vert {\,\nu \,}\vert =m}c_{\nu }a^{\nu }=f_{m}(a_{1},\ldots ,a_{n})\,.$

Wegen ${}f_{m}\neq 0$ gibt es (bei ${}K$ unendlich) Punkte ${}(a_{1},\ldots ,a_{n})\in K^{n}$ mit

${}f_{m}(a_{1},\ldots ,a_{n})\neq 0\,,$

und dies gilt auf der Zariski-offenen Menge ${}V(f_{m})$ im Parameterraum.

Zur bewiesenen Aussage