Polynom/Geradeneinsetzung/Formel/Fakt

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}f\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ ein von ${}0$ verschiedenes Polynom vom Grad ${}m$. Es sei ${}\alpha (t)=at+b$ die Parametrisierung einer Geraden im ${}K^{n}$.

Dann ist

${}f_{\alpha }=f\circ \alpha =\sum _{j=0}^{m}g_{j}(a_{1},\ldots ,a_{n},b_{1},\ldots ,b_{n})t^{j}\,$

mit Polynomen ${}g_{j}$ in den ${}2n$ Variablen ${}a_{i},b_{i}$. Insbesondere hat ${}f\circ \alpha$ höchstens den Grad ${}m$. Wenn ${}K$ ein unendlicher Körper ist, so haben außerhalb einer algebraisch definierten Teilmenge des ${}K^{2n}$ die Einsetzungen den Grad ${}m$.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen