Polynom/Geradeneinsetzung/Formel/Fakt

Es sei $K$ ein Körper und $f \in K [X_{1}, \dots, X_{n}]$ ein von $0$ verschiedenes Polynom vom Grad $m$ . Es sei $α (t) = a t + b$ die Parametrisierung einer Geraden im $K^{n}$ .

Dann ist

$f_{α} = f \circ α = \sum_{j = 0}^{m} g_{j} (a_{1}, \dots, a_{n}, b_{1}, \dots, b_{n}) t^{j}$

mit Polynomen $g_{j}$ in den $2 n$ Variablen $a_{i}, b_{i}$ . Insbesondere hat $f \circ α$ höchstens den Grad $m$ . Wenn $K$ ein unendlicher Körper ist, so haben außerhalb einer algebraisch definierten Teilmenge des $K^{2 n}$ die Einsetzungen den Grad $m$ .

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen