Mit
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![{\displaystyle {}y=f(x)=-3x+x^{3}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/297d82ba907ad0323ef78ab22b8b1f52663bac48)
und
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![{\displaystyle {}g(y)=\sum _{k=0}^{\infty }b_{k}y^{k}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/17d98176326c758b7a6c2ced492caff20eeff16d)
wird die Bedingung
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![{\displaystyle {}g(f(x))=x\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c8efcad00ab481b374fe7d5f125b3935d893516)
ausgeschrieben zu
![{\displaystyle {}{\begin{aligned}\sum _{k=0}^{\infty }b_{k}(-3x+x^{3})^{k}&=b_{0}+b_{1}(-3x+x^{3})+b_{2}(-3x+x^{3})^{2}+b_{3}(-3x+x^{3})^{3}+b_{4}(-3x+x^{3})^{4}+\ldots \\&=x.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/63e5ce4ddd25626d53b51bc58fd09b4d94276f0e)
Daraus können die
sukzessive durch Koeffizientenvergleich bestimmt werden, da in der unendlichen Summe nur endlich viele Terme die Koeffizienten bestimmen. Zunächst ergibt sich
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![{\displaystyle {}b_{0}=0\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec6efeee1e1a5ce2185ee5e0881793ad633698a7)
Aus
(Koeffizient vor
)
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![{\displaystyle {}-3b_{1}=1\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3879ad9166958a51aa461cc6b6a5712965026341)
ergibt sich
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![{\displaystyle {}b_{1}=-{\frac {1}{3}}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed86729da1eb24628c863e607087ab8c0d0612b2)
Aus
(Koeffizient vor
)
-
![{\displaystyle {}9b_{2}=0\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d3364eadbf84fcecc9c5928965492e4f447c66b)
ergibt sich
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![{\displaystyle {}b_{2}=0\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79642bd0fae7016f9b872e9878900ceeafe6aa6a)
Aus
(Koeffizient vor
)
-
![{\displaystyle {}b_{1}-27b_{3}=0\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/63068d57077631984fb59e6a54c94dc02b36c292)
ergibt sich
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![{\displaystyle {}b_{3}={\frac {1}{81}}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9bcc17fccc55d3ec54214cf164fe5cec77b6819)
Aus
(Koeffizient vor
)
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![{\displaystyle {}-6b_{2}+81b_{4}=0\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/57f92833d63f468c157aaa91b0d7aa217b0b4d06)
ergibt sich
-
![{\displaystyle {}b_{4}=0\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/314200552332161a83fb7a9410818490cab19ee6)