Polynom/Grad 3/Umkehrfunktion/Potenzreihenansatz/Aufgabe/Lösung

Mit

${}y=f(x)=-3x+x^{3}\,.$

und

${}g(y)=\sum _{k=0}^{\infty }b_{k}y^{k}\,$

wird die Bedingung

${}g(f(x))=x\,$

ausgeschrieben zu

${}{\begin{aligned}\sum _{k=0}^{\infty }b_{k}(-3x+x^{3})^{k}&=b_{0}+b_{1}(-3x+x^{3})+b_{2}(-3x+x^{3})^{2}+b_{3}(-3x+x^{3})^{3}+b_{4}(-3x+x^{3})^{4}+\ldots \\&=x.\end{aligned}}$

Daraus können die ${}b_{k}$ sukzessive durch Koeffizientenvergleich bestimmt werden, da in der unendlichen Summe nur endlich viele Terme die Koeffizienten bestimmen. Zunächst ergibt sich

${}b_{0}=0\,.$

Aus (Koeffizient vor ${}x$)

${}-3b_{1}=1\,$

ergibt sich

${}b_{1}=-{\frac {1}{3}}\,.$

Aus (Koeffizient vor ${}x^{2}$)

${}9b_{2}=0\,$

ergibt sich

${}b_{2}=0\,.$

Aus (Koeffizient vor ${}x^{3}$)

${}b_{1}-27b_{3}=0\,$

ergibt sich

${}b_{3}={\frac {1}{81}}\,.$

Aus (Koeffizient vor ${}x^{4}$)

${}-6b_{2}+81b_{4}=0\,$

ergibt sich

${}b_{4}=0\,.$

Zur gelösten Aufgabe