Polynom/Grad 4/Doppelte Tangente/Aufgabe/Lösung

Es ist

${}{\begin{aligned}(x-a)^{2}(x-b)^{2}&={\left(x^{2}-2ax+a^{2}\right)}{\left(x^{2}-2bx+b^{2}\right)}\\&=x^{4}-2(a+b)x^{3}+{\left(a^{2}+b^{2}+4ab\right)}x^{2}+{\left(-2a^{2}b-2ab^{2}\right)}x+a^{2}b^{2}.\end{aligned}}$

Der Vergleich mit ${}x^{4}+rx^{3}+sx^{2}$ führt auf das Gleichungssystem

${}-2(a+b)=r\,$

und

${}a^{2}+b^{2}+4ab=s\,.$

Wir lösen die erste Gleichung nach ${}a$ auf und erhalten

${}a=-b-{\frac {r}{2}}\,.$

Dies eingesetzt in die zweite Gleichung ergibt

${}{\begin{aligned}{\left(-b-{\frac {r}{2}}\right)}^{2}+b^{2}+4{\left(-b-{\frac {r}{2}}\right)}b&=b^{2}+br+{\frac {r^{2}}{4}}+b^{2}-4b^{2}-2rb\\&=-2b^{2}-rb+{\frac {r^{2}}{4}}\\&=0.\end{aligned}}$

Somit muss die quadratische Gleichung

${}b^{2}+{\frac {r}{2}}b-{\frac {r^{2}}{8}}=0\,$

gelöst werden. Dies führt auf

${}{\left(b+{\frac {r}{4}}\right)}^{2}={\frac {r^{2}}{8}}+{\frac {r^{2}}{16}}={\frac {3r^{2}}{16}}\,,$

was stets eine Lösung besitzt. Die Lösungen sind

${}b={\frac {\pm {\sqrt {3}}r}{4}}-{\frac {r}{4}}\,,$

wobei ${}a$ dann die andere Lösung ist (${}a$ und ${}b$ sind in der Fragestellung und in dem Gleichungssystem gleichberechtigt). Mit diesen ${}a$ und ${}b$

hat man Übereinstimmung in den höheren Koeffizienten und durch Wahl des linearen Terms ${}cx+d$ kann man überhaupt Übereinstimmung erreichen.

Zur gelösten Aufgabe