Polynom/Modulo p/Irreduzible Liftung über Z/Aufgabe/Lösung

1. Nehmen wir an, dass ${}F\in \mathbb {Z} [X]$ nicht irreduzibel ist. Es gibt dann eine Zerlegung

   ${}F=GH\,$

   in ${}\mathbb {Z} [X]$, wobei ${}G,H$ ebenfalls normierte Polynome sind, die einen kleineren Grad als ${}F$ besitzen. Da die Reduktion modulo ${}q$ ein Ringhomomorphismus

   $\mathbb {Z} [X]\longrightarrow \mathbb {Z} /(q)[X],\,F\longmapsto {\overline {F}},$

   ist, der für normierte Polynome den Grad unverändert lässt, folgt sofort eine Faktorzerlegung

   ${}{\overline {F}}={\overline {G}}\cdot {\overline {H}}\,,$

   die der Irreduzibilität von ${}{\overline {F}}$ in ${}\mathbb {Z} /(q)[X]$ widerspricht.

2. Es sei ${}F=2X$, wobei diese Darstellung unmittelbar zeigt, dass ${}F$ nicht irreduzibel in ${}\mathbb {Z} [X]$ ist. Für ${}q=3$ ist die Reduktion modulo ${}3$ gleich ${}2X$, doch dies ist, da ${}2$ eine Einheit in ${}\mathbb {Z} /(3)$ ist, assoziiert zum irreduziblen Polynom ${}X$.
3. Es sei nun ${}G\in \mathbb {Z} /(p)[X]$ ein normiertes Polynom vom Grad ${}n$. Es sei ${}q\neq p$ eine weitere Primzahl. Da es einen Körper ${}K$ mit ${}q^{n}$ Elementen gibt, und da die Einheitengruppe eines endlichen Körpers nach Fakt von einem Element erzeugt wird, ist ${}K$ eine einfache endliche Körpererweiterung von ${}\mathbb {Z} /(q)$. Also ist

   ${}K\cong \mathbb {Z} /(q)[X]/(H)\,$

   mit einem normierten irreduziblen Polynom ${}H\in \mathbb {Z} /(q)[X]$. Es sei

   ${}{\tilde {G}}=X^{n}+a_{n-1}X^{n-1}+\cdots +a_{1}X+a_{0}\in \mathbb {Z} [X]\,$

   ein normiertes ganzzahliges Polynom, das modulo ${}p$ mit ${}G$ übereinstimmt. Diese Eigenschaft ändert sich nicht, wenn wir Vielfache von ${}pX^{i}$ mit ${}i$ zwischen ${}0$ und ${}n-1$ dazuaddieren. Wir behaupten, dass wir durch solche Additionen erreichen können, dass die Reduktion modulo ${}q$ zum irreduzibeln Polynom ${}H$ wird. Aus Teil (1) folgt dann, dass dieses neue ${}G'$ irreduzibel ist. Die Abänderung können wir komponentenweise durchführen. Es sei

   ${}H=X^{n}+b_{n-1}X^{n-1}+\cdots +b_{1}X+b_{0}\in \mathbb {Z} [X]\,$

   mit ${}b_{i}\in \mathbb {Z} /(q)$. Da ${}{\overline {p}}$ in ${}\mathbb {Z} /(q)$ eine Einheit ist, erzeugt es als Gruppe ${}\mathbb {Z} /(q)$, d.h. ${}0,{\overline {p}},2{\overline {p}},\ldots$ durchläuft alle Elemente von ${}\mathbb {Z} /(q)$. Somit kann man durch Addition eines Vielfachen von ${}p$ erreichen, dass ${}a_{i}+kp$ modulo ${}q$ mit ${}b_{i}$ übereinstimmt.

Zur gelösten Aufgabe