Polynom/Potenzen/Fourierreihe/Rekursionsformel/Fakt/Beweis

Beweis

Für den allgemeinen Rekursionsschritt verwenden wir partielle Integration und erhalten

\begin{matrix} c_{m, n} & = \int_{0}^{1} t^{m} e^{- 2 π i n t} d t \\ = - \frac{1}{2 π i n} (t^{m} e^{- 2 π i n t}) |_{0}^{1} + \frac{m}{2 π i n} \int_{0}^{1} t^{m - 1} e^{- 2 π i n t} d t \\ = - \frac{e^{- 2 π i n}}{2 π i n} + \frac{m}{2 π i n} c_{m - 1, n} . \end{matrix}