Polynom/Potenzen/Fourierreihe/Rekursionsformel/Fakt/Beweis

Beweis

Für den allgemeinen Rekursionsschritt verwenden wir partielle Integration und erhalten

${}{\begin{aligned}c_{m,n}&=\int _{0}^{1}t^{m}e^{-2\pi {\mathrm {i} }nt}dt\\&=-{\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }n}}\left(t^{m}e^{-2\pi {\mathrm {i} }nt}\right)|_{0}^{1}+{\frac {m}{2\pi {\mathrm {i} }n}}\int _{0}^{1}t^{m-1}e^{-2\pi {\mathrm {i} }nt}dt\\&=-{\frac {e^{-2\pi {\mathrm {i} }n}}{2\pi {\mathrm {i} }n}}+{\frac {m}{2\pi {\mathrm {i} }n}}c_{m-1,n}.\end{aligned}}$

Zur bewiesenen Aussage