Polynom/R/Bijektiv/Umkehrfunktion/Aufgabe/Lösung

Aus Wikiversity
Zur Navigation springen Zur Suche springen
  1. Die einzigen reellen Polynome mit polynomialer Umkehrfunktion sind die Polynome der Form mit

    Für diese ist die Umkehrfunktion, da ja wegen

    und

    diese Funktionen invers zueinander sind. Wir zeigen, dass es darüberhinaus keine weiteren Polynome mit polynomialer Umkehrfunktion gibt. Ein konstantes Polynom ist nicht bijektiv. Sei also ein Polynom, das zumindest einen Grad besitzt. Wenn man darin ein weiteres nichtkonstantes Polynom einsetzt, ergibt sich aber ebenfalls ein Polynom vom Grad und nicht . D.h., dass keine polynomiale Umkehrfunktion besitzen kann.

  2. Die Funktion

    ist bijektiv nach Fakt, nach Teil (1) kann aber die Umkehrfunktion nicht polynomial sein.

  3. Die vollständige Wertetabelle zu dieser Funktion ist

    also ist die Funktion bijektiv. Diese Funktion ist offenbar zu sich selbst invers, also ist die Umkehrfunktion polynomial.