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Polynom/R nach R/Lipschitz stetig/Grad/Aufgabe/Lösung

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Von (1) nach (2). Wir schreiben

und behaupten, dass man als Lipschitz-Konstante nehmen kann. In der Tat ist

Von (2) nach (3) gilt immer, zu gegebenem nimmt man . Von (3) nach (1). Wir zeigen, dass ein Polynom vom Grad nicht auf ganz gleichmäßig stetig ist. Ohne Einschränkung sei der Leitkoeffizient positiv. Wir betrachten den Differenzenquotienten

Da zumindest den Grad besitzt, geht die Ableitung für gegen unendlich. Mit dem Mittelwertsatz wird dann auch zu jedem festen der Differenzenquotient für gegen unendlich beliebig groß. Bei gegebenem gibt es daher zu jedem positiven ein mit

also ist