Polynom/R nach R/Lipschitz stetig/Grad/Aufgabe/Lösung
Erscheinungsbild
Von (1) nach (2). Wir schreiben
und behaupten, dass man als Lipschitz-Konstante nehmen kann. In der Tat ist
Von (2) nach (3) gilt immer, zu gegebenem nimmt man . Von (3) nach (1). Wir zeigen, dass ein Polynom vom Grad nicht auf ganz gleichmäßig stetig ist. Ohne Einschränkung sei der Leitkoeffizient positiv. Wir betrachten den Differenzenquotienten
Da zumindest den Grad besitzt, geht die Ableitung für gegen unendlich. Mit dem Mittelwertsatz wird dann auch zu jedem festen der Differenzenquotient für gegen unendlich beliebig groß. Bei gegebenem gibt es daher zu jedem positiven ein mit
also ist