Polynom/Z/Zwei Variablen/Reduktion/Bemerkung

Ein Polynom ${}F(X,Y)\in \mathbb {Z} [X,Y]$ kann man als ein Polynom über jedem Körper auffassen. Zu einem Körper ${}K$ gibt es einen eindeutig bestimmten Ringhomomorphismus ${}\mathbb {Z} \rightarrow K$ und dieser legt einen Ringhomomorphismus

$\mathbb {Z} [X,Y]\longrightarrow K[X,Y]$

und somit ein Polynom ${}F(X,Y)\in K[X,Y]$ fest. Hierbei werden einfach die Koeffizienten des Polynoms als Elemente in dem Körper ${}K$ interpretiert. Je nachdem, ob ${}K$ Charakteristik ${}0$ oder positive Charakteristik ${}p$ besitzt, liegt eine Faktorisierung

$\mathbb {Z} \longrightarrow \mathbb {Q} \longrightarrow K$

bzw.

$\mathbb {Z} \longrightarrow \mathbb {Z} /(p)\longrightarrow K$

vor, wobei die hintere Abbildung eine Körpererweiterung ist. Somit ist es erst einmal wichtig zu verstehen, was mit ${}F$ geschieht, wenn man zu den Primkörpern ${}\mathbb {Q}$ bzw. ${}\mathbb {Z} /(p)$ übergeht. Im zweiten Fall spricht man davon, das Polynom ${}F$ (bzw. die Gleichung bzw. die Kurve) modulo ${}p$ zu betrachten. Ein Extremfall liegt vor, wenn in ${}F$ alle Koeffizienten Vielfache einer Primzahl ${}p$ sind, denn dann wird ${}F$ modulo ${}p$ zum Nullpolynom. Dies kann nicht passieren, wenn die Koeffizienten zusammen teilerfremd sind. Es ist aber ein typisches Phänom, dass modulo ${}p$ gewisse Koeffizienten bzw. andere Invarianten des Polynoms zu ${}0$ werden. Da aber eine ganze Zahl nur endlich viele Primteiler besitzt, ist dieses Verhalten ein Ausnahmeverhalten für gewisse Primzahlen. Im Allgemeinen gilt das Prinzip, dass das Verhalten in Charakteristik ${}0$ mit dem Verhalten modulo ${}p$ für alle Primzahlen bis auf endlich viele Ausnahmen weitgehend übereinstimmt. Statt für alle Primzahlen bis auf endlich viele Ausnahmen spricht man auch von für fast alle Primzahlen oder für hinreichend große Primzahlen. Dabei hängt aber die Ausnahmemenge stets von der in Frage stehenden Eigenschaft ab.