Polynom/x^3+x-1/Nullstelle zwischen 0 und 1/Berechnung/Aufgabe/Lösung

a) Es ist ${}f(0)=-1$ und ${}f(1)=1$, daher besitzt die stetige Funktion aufgrund des Zwischenwertsatzes mindestens eine Nullstelle in ${}[0,1]$. Die Ableitung ist ${}f'(x)=3x^{2}+1$ und dies ist in diesem Intervall positiv, so dass die Funktion ${}f$ dort streng wachsend ist. Also kann sie nicht mehr als eine Nullstelle besitzen.

b) Für

${}x=1/2=0{,}5\,$

ist

${}f(1/2)=1/8+1/2-1<0\,,$

die Nullstelle muss also in der rechten Intervallhälfte liegen. Für ${}x=0{,}8$ ergibt sich

$f(0{,}8)=0{,}8^{3}+0{,}8-1=0{,}512+0{,}8-1=0{,}312>0,$

so dass dieser Wert zu groß ist. Für ${}x=0{,}7$ ergibt sich

${}f(0{,}7)=0{,}7^{3}+0{,}7-1=0{,}343+0{,}7-1=0{,}043>0\,,$

was immer noch zu groß ist. Für ${}x=0{,}6$ ergibt sich

${}f(0{,}6)=0{,}6^{3}+0{,}6-1=0{,}216+0{,}6-1=-0{,}184<0\,.$

Die Nullstelle liegt also im offenen Intervall zwischen ${}0{,}6$ und ${}0{,}7$ und die erste Nachkommastelle ist ${}6$.

c) Wie unter b) berechnet ist ${}f(0{,}7)=0{,}043<0{,}1$, so dass man ${}q=0{,}7$

nehmen kann.

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