Polynomdivision/(4+3i)x^3+x^2+5i durch (1+i)x^2+x -3+2i/Beispiel

Wir führen die Polynomdivision

$P=(4+3\mathrm{i})X^3+X^2+5\mathrm{i}\text{ durch }T=(1+\mathrm{i})X^2+X-3+2\mathrm{i}$

aus. Das Inverse zu $1+\mathrm{i}$ ist $\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\mathrm{i}$ und daher ist

$\begin{array}{cc}(4+3\mathrm{i})(1+\mathrm{i}{)}^{-1}& =(4+3\mathrm{i})(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\mathrm{i})\\ & =2+\frac{3}{2}-2\mathrm{i}+\frac{3}{2}\mathrm{i}\\ & =\frac{7}{2}-\frac{1}{2}\mathrm{i}.\end{array}$

Daher beginnt $Q$ mit $(\frac{7}{2}-\frac{1}{2}\mathrm{i})X$ und es ist

$\begin{array}{cc}((1+\mathrm{i})X^2+X-3+2\mathrm{i})(\frac{7}{2}-\frac{1}{2}\mathrm{i})X& =(4+3\mathrm{i})X^3+(\frac{7}{2}-\frac{1}{2}\mathrm{i})X^2+(-\frac{19}{2}+\frac{17}{2}\mathrm{i})X.\end{array}$

Dies muss man nun von $P$ abziehen und erhält

$\begin{array}{cc}P-((4+3\mathrm{i})X^3+(\frac{7}{2}-\frac{1}{2}\mathrm{i})X^2+(-\frac{19}{2}+\frac{17}{2}\mathrm{i})X)& =(-\frac{5}{2}+\frac{1}{2}\mathrm{i})X^2+(\frac{19}{2}-\frac{17}{2}\mathrm{i})X+5\mathrm{i}.\end{array}$

Auf dieses Polynom (nennen wir es $P^{\prime }$) wird das gleiche Verfahren angewendet. Man berechnet

$\begin{array}{cc}(-\frac{5}{2}+\frac{1}{2}\mathrm{i})(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\mathrm{i})& =-1+\frac{3}{2}\mathrm{i}\\ \end{array}$

Daher ist der konstante Term von $Q$ gleich $-1+\frac{3}{2}\mathrm{i}$ und es ergibt sich

$((1+\mathrm{i})X^2+X-3+2\mathrm{i})(-1+\frac{3}{2}\mathrm{i})=(-\frac{5}{2}+\frac{1}{2}\mathrm{i})X^2+(-1+\frac{3}{2}\mathrm{i})X-\frac{13}{2}\mathrm{i}.$

Dies ziehen wir von $P^{\prime }$ ab und erhalten

$P^{\prime }-((-\frac{5}{2}+\frac{1}{2}\mathrm{i})X^2+(-1+\frac{3}{2}\mathrm{i})X-\frac{13}{2}\mathrm{i})=(\frac{21}{2}-10\mathrm{i})X+\frac{23}{2}\mathrm{i}.$

Dies ist der Rest $R$, die vollständige Division mit Rest ist also

$\begin{array}{cc}(4+3\mathrm{i})X^3+X^2+5\mathrm{i}& =((1+\mathrm{i})X^2+X-3+2\mathrm{i})((\frac{7}{2}-\frac{1}{2}\mathrm{i})X-1+\frac{3}{2}\mathrm{i})+(\frac{21}{2}-10\mathrm{i})X+\frac{23}{2}\mathrm{i}.\end{array}$