Polynomdivision/Z mod 7/x^2+3x+5 durch 3x+4/Beispiel

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Wir führen im endlichen Restklassenkörper die Polynomdivision

durch. Es wird also ein quadratisches Polynom durch ein lineares Polynom dividiert, d.h. der Quotient muss vom Grad und der Rest muss vom Grad sein. Im ersten Schritt überlegt man, mit welchem Term man multiplizieren muss, damit das Produkt mit im Leitterm übereinstimmt. Mit was muss man also in multiplizieren, um zu erhalten? Eine Schreibweise wie ist hier wenig hilfreich, es muss ein Element aus sein. Wegen ist das inverse Element, man muss also mit multiplizieren. Das Produkt ist

Die Differenz von zu diesem Produkt ist

Mit diesem Polynom, nennen wir es , setzen wir die Division durch fort. Um Übereinstimmung im Leitkoeffizienten zu erhalten, muss man mit multiplizieren, da ja ist. Dies ergibt

Die Differenz zu ist somit

Dies ist das Restpolynom und somit ist insgesamt