Polynome/Ableitungsabbildung/Kern und Bild/Aufgabe/Lösung

Die Ableitung schickt die Basiselemente auf

$x^{0}=1\mapsto 0,\,x^{1}\mapsto 1,\,x^{2}\mapsto 2x,\,x^{3}\mapsto 3x^{2},\,x^{4}\mapsto 4x^{3}.$

Daraus sind direkt die Koeffizienten der Bildvektoren bezüglich der Basis abzulesen. In der beschreibenden Matrix stehen in den Spalten die Koeffizienten der Bildvektoren. Daher lautet die Matrix

${\begin{pmatrix}0&1&0&0&0\\0&0&2&0&0\\0&0&0&3&0\\0&0&0&0&4\\0&0&0&0&0\end{pmatrix}}.$

Das Bild dieser Abbildung besteht aus allen Polynomen vom Grad ${}\leq 3$. Dieser Untervektorraum besitzt die Basis ${}x^{0},x^{1},x^{2},x^{3}$ und hat demnach die Dimension ${}4$.

Der Kern besteht aus den konstanten Polynomen mit der Basis ${}x^{0}$, dieser Unterraum ist also eindimensional.

Zur gelösten Aufgabe