Polynome/Hauptteilmodul/Jacobi-Taylor-Beschreibung/Fakt/Beweis

Beweis

Aufgrund von Fakt ist

${}P_{R{|}K}^{n}=R\otimes _{K}R/\Delta ^{n+1}\cong R[A_{1},\ldots ,A_{k}]/{\left(G_{1},\ldots ,G_{m},A^{\lambda },\operatorname {grad} \,(\lambda )\geq n+1\right)}\,.$

Insbesondere bilden die Monome ${}A^{\lambda }$, ${}\operatorname {grad} \,(\lambda )\leq n$, ein ${}R$-Modul-Erzeugendensystem von ${}P_{R{|}K}^{n}$ und es gibt eine surjektive Abbildung

$\bigoplus _{\operatorname {grad} \,(\lambda )\leq n}Re_{\lambda }\longrightarrow P_{R{|}K}^{n},\,e_{\lambda }\longmapsto A^{\lambda }.$

Derjenige Teil des von den ${}G_{i}$ erzeugten Ideals, das einen Grad ${}\leq n$ besitzt, wird als ${}R$-Modul von allen

$A^{\mu }G_{i}=A^{\mu }{\left(\sum _{\lambda }G_{i,\lambda }A^{\lambda }\right)},\,\operatorname {grad} \,(\mu )\leq n-1,\,1\leq i\leq m,$

erzeugt. Somit wird der Kern der Abbildung durch alle ${}\lambda$-Tupel

$C_{\mu ,i}={\left(C_{\nu ;\mu ,i}\right)}{\text{ mit }}C_{\nu ;\mu ,i}=G_{i,\nu -\mu },\,\operatorname {grad} \,(\mu )\leq n-1,\,1\leq i\leq m,$

erzeugt, wobei ${}G_{i,\nu -\mu }$ als ${}0$ zu interpretieren is, falls eine Komponente negativ wird. Der Kern ist also das Bild der Abbildung

$\bigoplus _{\operatorname {grad} \,(\mu )\leq n-1,\,1\leq i\leq m}Re_{\mu ,i}\longrightarrow \bigoplus _{\operatorname {grad} \,(\lambda )\leq n}Re_{\lambda },\,e_{\mu ,i}\longmapsto C_{\mu ,i}.$

Der Eintrag der beschreibenden Matrix zum Zeilenindex ${}\nu$ und zum Spaltenindex ${}(\mu ,i)$ ist

$G_{i,\nu -\mu }={\frac {1}{(\nu -\mu )!}}D^{\nu -\mu }(F_{i})$

nach Fakt. Dies ist die transponierte Matrix zur Jacobi-Taylor-Matrix.

Zur bewiesenen Aussage