Polynomiale Gleichung/Eine Variable/Einführung/Textabschnitt

Es sei eine polynomiale Gleichung

${}a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}=0\,$

gegeben, wobei die Koeffizienten ${}a_{0},a_{1},\ldots ,a_{n}$ reelle (oder komplexe) Zahlen seien und nach Elementen ${}x\in {\mathbb {C} }$ gesucht wird, die diese Gleichung erfüllen. Wie kann man solche Lösungen finden? Die Lösbarkeit hängt dabei natürlich wesentlich vom Grad der Gleichung ab, das ist der maximale Index ${}n$ mit ${}a_{n}\neq 0$. Bei ${}n=1$ liegt eine lineare Gleichung ${}a_{1}x+a_{0}=0$ vor mit der eindeutigen Lösung ${}x=-{\frac {a_{0}}{a_{1}}}$. Dies kann man bilden, da nach Voraussetzung ${}a_{1}\neq 0$ ist und da die Koeffizienten aus ${}{\mathbb {C} }$ sind, also aus einem Körper, wo man uneingeschränkt durch von ${}0$ verschiedene Zahlen dividieren kann. Bei ${}n=2$ liegt eine quadratische Gleichung vor, also

${}a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}=0\,$

mit ${}a_{2}\neq 0$. Hier führt man zunächst eine Normierung durch, was man bei jedem Grad machen kann. Das bedeutet, dass man durch den Leitkoeffizienten ${}a_{n}$ dividiert, um diesen zu ${}1$ zu normieren. Dabei ändern sich die Lösungen der Gleichung offenbar nicht. Im quadratischen Fall gelangt man so zur äquivalenten Gleichung

${}x^{2}+b_{1}x+b_{0}=0\,.$

Diese Gleichung führt man durch quadratisches Ergänzen auf eine reine Gleichung zurück. Man macht den Ansatz ${}y=x+{\frac {b_{1}}{2}}$ und schreibt dann die Gleichung als

${}{\left(x+{\frac {b_{1}}{2}}\right)}^{2}+b_{0}-{\left({\frac {b_{1}}{2}}\right)}^{2}=x^{2}+b_{1}x+b_{0}=0\,$

bzw. als

${}y^{2}+c_{0}=0\,$

mit ${}c_{0}=b_{0}-{\left({\frac {b_{1}}{2}}\right)}^{2}$. Dieser Koeffizient ${}c_{0}$ gehört wieder zum Körper. Wenn ${}y_{1}$ eine Lösung dieser Gleichung ist, so ist ${}x_{1}=y_{1}-{\frac {b_{1}}{2}}$ eine Lösung der quadratischen Ausgangsgleichung. Die neu gewonnene äquivalente Gleichung ist eine sogenannte reine Gleichung, d.h. eine Gleichung der Form

${}y^{n}=d\,.$

Um eine solche reine Gleichung lösen zu können muss man „die“ ${}n$-te Wurzel aus ${}d$ ziehen können. Die Schwierigkeit dieser Aufgabe und die Anzahl der Lösungen hängt von der Arithmetik des Körpers ab und ist nicht trivial. Dennoch ist es eine wesentliche Reduktion, wenn man, wie im quadratischen Fall, die Lösung einer polynomialen Gleichung auf die Lösung einer (oder mehrerer) reinen Gleichungen zurückführen kann.