Polynomring/Über faktoriellem Ring/Ist faktoriell/Fakt/Beweis

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Beweis

Wir zeigen, dass jedes irreduzible Element prim ist und dass jedes Polynom eine Zerlegung in irreduzible Polynome besitzt. Sei also irreduzibel und

Bei ist prim nach Fakt, so dass wir annehmen können. Die Teilbarkeitsbeziehung gilt erst recht in . Nach Fakt ist das Polynom auch irreduzibel in und damit darin prim nach Fakt. Daher teilt dieses Element in einen der Faktoren, sagen wir . Es ist also  mit . Wir können mit einem Hauptnenner von multiplizieren und erhalten die Beziehung

mit , wobei durch seine Primfaktorzerlegung ersetzt wurde. Da irreduzibel ist, sind die Koeffizienten von teilerfremd. Insbesondere ist kein Teiler von allen Koeffizienten von . Da nach Fakt auch in prim ist, folgt, dass ein Vielfaches von ist. Man kann also durch kürzen. So kann man sukzessive die Primfaktorzerlegung von abarbeiten und erhält schließlich, dass ein Vielfaches von ist.

Dass jedes Polynom ein Produkt von irreduziblen Polynomen ist, beweisen wir durch Induktion über den Grad von . Bei Grad null liefert die Primfaktorzerlegung in sofort die gewünschte Zerlegung in . Sei also der Grad von positiv. Wenn es eine Produktzerlegung in Polynome von kleinerem Grad gibt, so sind wir fertig aufgrund der Induktionsvoraussetzung. Andernfalls sei der größte gemeinsame Teiler der Koeffizienten von . Dann ist  mit und die Koeffizienten von sind teilerfremd. Dann ist aber irreduzibel, da es weder eine Zerlegung in Polynome mit kleinerem Grad noch eine nicht-triviale Zerlegung mit Konstanten geben kann.

Zur bewiesenen Aussage