Polynomring/1/Körper/Kommutativer Ring/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Lediglich die Gültigkeit des Assoziativgesetzes für die Multiplikation und des Distributivgesetzes sind nicht unmittelbar klar. Zum Nachweis dieser Eigenschaften schreiben wir abkürzend die beteiligten Polynome als

$\sum _i{a}_i{X}^i,\sum _j{b}_j{X}^j\text{ und }\sum _k{c}_k{X}^k.$

Mit diesen Bezeichnungen ist

$\begin{array}{cc}\left(\left(\sum _i{a}_i{X}^i\right)\left(\sum _j{b}_j{X}^j\right)\right)\left(\sum _k{c}_k{X}^k\right)& =\left(\sum _r\left(\sum _{i+j=r}{a}_i{b}_j\right)X^r\right)\left(\sum _k{c}_k{X}^k\right)\\ & =\left(\sum _s\left(\sum _{i+j+k=s}{a}_i{b}_j{c}_k\right)X^s\right),\end{array}$

woraus wegen der Symmetrie des Ausdrucks die Assoziativität ablesbar ist. Ferner ist

$\begin{array}{cc}\left(\sum _i{a}_i{X}^i\right)(\left(\sum _j{b}_j{X}^j\right)+\left(\sum _j{c}_j{X}^j\right))& =\left(\sum _i{a}_i{X}^i\right)\left(\sum _j(b_j+c_j)X^j\right)\\ & =\sum _r\left(\sum _{i+j=r}{a}_i(b_j+c_j)\right)X^r\\ & =\sum _r(\sum _{i+j=r}{a}_i{b}_j+a_i{c}_j)X^r\\ & =\sum _r\left(\sum _{i+j=r}{a}_i{b}_j\right)X^r+\sum _r\left(\sum _{i+j=r}{a}_i{c}_j\right)X^r\\ & =\left(\sum _i{a}_i{X}^i\right)\left(\sum _j{b}_j{X}^j\right)+\left(\sum _i{a}_i{X}^i\right)\left(\sum _j{c}_j{X}^j\right),\end{array}$

was die Distributivität bedeutet.

Zur gelösten Aufgabe