Polynomring/2 Variablen/Veronesering/Beispiel

Zum Polynomring  ${}A=K[X,Y]$  über einem Körper ${}K$ und einem  ${}k\in \mathbb {N} _{+}$  wird der ${}k$-te Veronese-Ring durch die Monome ${}X^{k},X^{k-1}Y,\ldots ,XY^{k-1},Y^{k}$ erzeugt. Bei  ${}k=2$  handelt es sich um

${}K[X^{2},XY,Y^{2}]\cong K[U,V,W]/{\left(UW-V^{2}\right)}\,.$

Bei  ${}k=3$  handelt es sich um

$K[X^{3},X^{2}Y,XY^{2},Y^{3}]\cong K[U,V,W,Z]/{\left(UZ-VW,UW-V^{2},VZ-W^{2}\right)}\,.$

Diese Ringe sind nicht isomorph zum Polynomring in zwei Variablen. Beispielsweise ist ${}A^{(2)}$ im Gegensatz zum Polynomring nicht faktoriell, die Elemente ${}U,V,W$ sind irreduzibel, aber nicht prim, und die Gleichung  ${}UW=V^{2}$  bedeutet, dass zwei wesentlich verschiedene Zerlegungen dieses Elementes vorliegen.