Polynomring/2 Variablen/Veronesering/Beispiel

Zum Polynomring  $A=K[X,Y]$  über einem Körper $K$ und einem  $k\in {\mathbb{N}}_{+}$  wird der $k$-te Veronese-Ring durch die Monome $X^k,X^{k-1}Y,\dots ,X{Y}^{k-1},Y^k$ erzeugt. Bei  $k=2$  handelt es sich um

$K[X^2,XY,Y^2]\cong K[U,V,W]/(UW-V^2).$

Bei  $k=3$  handelt es sich um

$K[X^3,X^{2}Y,X{Y}^2,Y^3]\cong K[U,V,W,Z]/(UZ-VW,UW-V^2,VZ-W^2).$

Diese Ringe sind nicht isomorph zum Polynomring in zwei Variablen. Beispielsweise ist $A^{(2)}$ im Gegensatz zum Polynomring nicht faktoriell, die Elemente $U,V,W$ sind irreduzibel, aber nicht prim, und die Gleichung  $UW=V^2$  bedeutet, dass zwei wesentlich verschiedene Zerlegungen dieses Elementes vorliegen.