Polynomring/Basis/Beispiel

Im Polynomring $K[X]$ über einem Körper $K$ sind die Potenzen $X^n$, $n\in \mathbb{N}$, eine Basis. Nach Definition kann man jedes Polynom

$a_n{X}^n+a_{n-1}{X}^{n-1}+\cdots +a_2{X}^2+a_{1}X+a_0$

als Linearkombination der Potenzen $X^0=1,X^1=X,\dots ,X^n$ schreiben. Ferner sind diese Potenzen linear unabhängig. Wenn nämlich

$a_n{X}^n+a_{n-1}{X}^{n-1}+\cdots +a_2{X}^2+a_{1}X+a_0=0$

ist, so müssen alle Koeffizienten gleich $0$ sein (dies gehört zum Begriff eines Polynoms).