Polynomring/Basis/Beispiel

Im Polynomring ${}K[X]$ über einem Körper ${}K$ sind die Potenzen ${}X^{n}$, ${}n\in \mathbb {N}$, eine Basis. Nach Definition kann man jedes Polynom

$a_{n}X^{n}+a_{n-1}X^{n-1}+\cdots +a_{2}X^{2}+a_{1}X+a_{0}$

als Linearkombination der Potenzen ${}X^{0}=1,X^{1}=X,\ldots ,X^{n}$ schreiben. Ferner sind diese Potenzen linear unabhängig. Wenn nämlich

${}a_{n}X^{n}+a_{n-1}X^{n-1}+\cdots +a_{2}X^{2}+a_{1}X+a_{0}=0\,$

ist, so müssen alle Koeffizienten gleich ${}0$ sein (dies gehört zum Begriff eines Polynoms).