Polynomring/Eine Variable/Einsetzungshomomorphismus/Fakt

Satz über den Einsetzungshomomorphismus

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und sei ${}R[X]$ der Polynomring über ${}R$. Es sei ${}A$ ein weiterer kommutativer Ring und es sei ${}\varphi \colon R\rightarrow A$ ein Ringhomomorphismus und  ${}a\in A$  ein Element.

Dann gibt es einen eindeutig bestimmten Ringhomomorphismus

$\psi \colon R[X]\longrightarrow A$

mit  ${}\psi (X)=a$  und mit  ${}\psi \circ i=\varphi$,  wobei ${}i\colon R\rightarrow R[X]$ die kanonische Einbettung ist.

Dabei geht das Polynom  ${}P=\sum _{j=0}^{n}c_{j}X^{j}$  auf ${}\sum _{j=0}^{n}\varphi (c_{j})a^{j}$.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen