Polynomring/Eine Variable/Einsetzungshomomorphismus/Grundring/Fakt

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und sei ${}R[X]$ der Polynomring über ${}R$. Es sei  ${}r\in R$  ein Element.

Dann gibt es einen eindeutig bestimmten Ringhomomorphismus

$\psi \colon R[X]\longrightarrow R$

mit  ${}\psi (X)=r$  und mit  ${}\psi \circ i=\varphi$,  wobei ${}i\colon R\rightarrow R[X]$ die kanonische Einbettung ist.

Dabei geht das Polynom  ${}P=\sum _{j=0}^{n}c_{j}X^{j}$  auf ${}\sum _{j=0}^{n}\varphi (c_{j})r^{j}$.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen