- Es ist
- Wegen
-
ist die Relation reflexiv. Sei
-
und
-
mit
.
Dann ist wegen
-
und da der Einsetzungsprozess mit Addition und Multiplikation verträglich ist auch
-
also
,
da ja wegen
rechts wieder eine Linearform eingesetzt wird. Die Relation ist also transitiv. Es sei nun
-
Dann sind wegen
die Einsetzungen durch und durch invers zueinander und somit ist
-
und die Relation ist symmetrisch.
- Sei
-
Bei
-
können wir
-
nehmen. Es sei also insbesondere nicht das Nullpolynom. Nach
dem Fundamentalsatz der Algebra
gibt es ein mit
-
Dann ist
-
mit einem Polynom . Offenbar ist
.
- Es sei wieder
-
mit
.
Nach
dem Fundamentalsatz der Algebra
gibt es ein
mit .
Dann ist
-
ein normiertes und zu äquivalentes Polynom.
- Es sei
-
mit verschiedenen Nullstellen und einem nullstellenfreien Polynom . Dann ist
-
und dieses besitzt zumindest die verschiedenen Nullstellen . Wegen der Symmetrie der Situation sind es genau Nullstellen.