Polynomring/Einsetzen von Linearform/Äquivalenzrelation/Aufgabe/Lösung

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  1. Es ist
  2. Wegen

    ist die Relation reflexiv. Sei

    und

    mit . Dann ist wegen

    und da der Einsetzungsprozess mit Addition und Multiplikation verträglich ist auch

    also , da ja wegen rechts wieder eine Linearform eingesetzt wird. Die Relation ist also transitiv. Sei nun

    Dann sind wegen

    die Einsetzungen durch und durch invers zueinander und somit ist

    und die Relation ist symmetrisch.

  3. Sei

    Bei

    können wir

    nehmen. Sei also insbesondere nicht das Nullpolynom. Nach dem Fundamentalsatz der Algebra gibt es ein mit

    Dann ist

    mit einem Polynom . Offenbar ist .

  4. Sei wieder

    mit . Nach dem Fundamentalsatz der Algebra gibt es ein  mit . Dann ist

    ein normiertes und zu äquivalentes Polynom.

  5. Es sei

    mit verschiedenen Nullstellen und einem nullstellenfreien Polynom . Dann ist

    und dieses besitzt zumindest die verschiedenen Nullstellen . Wegen der Symmetrie der Situation sind es genau Nullstellen.

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