- Es ist
![{\displaystyle {}{\begin{aligned}{\left(3X^{2}-4X+7\right)}{\frac {3X-5}{X}}&=3{\left(3X-5\right)}^{2}-4{\left(3X-5\right)}+7\\&=3{\left(9X^{2}-30X+25\right)}-12X+20+7\\&=27X^{2}-102X+102.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca96ed52593300b6476fe6a328a0028401fd3125)
- Wegen
-
![{\displaystyle {}P{\frac {X}{X}}=P\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a46d136c53080c205d113051a9bea1851f90446)
ist die Relation reflexiv. Sei
-
![{\displaystyle {}Q=P{\frac {aX+b}{X}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ac3d992991152aeb5ec7a680c46acf6ef7f39f6)
und
-
![{\displaystyle {}R=Q{\frac {cX+d}{X}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc08c6276146443090ec5a15ccd9716378b9ae06)
mit
.
Dann ist wegen
-
![{\displaystyle {}{\left(X{\frac {aX+b}{X}}\right)}{\frac {cX+d}{X}}={\left(aX+b\right)}{\frac {cX+d}{X}}=a{\left(cX+d\right)}+b=acX+ad+b=X{\frac {acX+ad+b}{X}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e12f69113f313fc914f3febdb39adf2c23f23e5)
und da der Einsetzungsprozess mit Addition und Multiplikation verträglich ist auch
-
![{\displaystyle {}R=Q{\frac {cX+d}{X}}={\left(P{\frac {aX+b}{X}}\right)}{\frac {cX+d}{X}}=P{\frac {acX+ad+b}{X}}\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8cc1ab29e85969fc8be78f41e724b9e2b273f7e)
also
,
da ja wegen
rechts wieder eine Linearform eingesetzt wird. Die Relation ist also transitiv. Es sei nun
-
![{\displaystyle {}Q=P{\frac {aX+b}{X}}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/071a9d2b774493d687f33fdae501eb443e918ace)
Dann sind wegen
![{\displaystyle {}{\begin{aligned}{\left(X{\frac {aX+b}{X}}\right)}{\frac {{\frac {1}{a}}X-{\frac {b}{a}}}{X}}&={\left(aX+b\right)}{\frac {{\frac {1}{a}}X-{\frac {b}{a}}}{X}}\\&=a{\left({\frac {1}{a}}X-{\frac {b}{a}}\right)}+b\\&=X\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae3b6c4d9c2b7ce1bffd822bea55f7e6635e75be)
die Einsetzungen durch
und durch
invers zueinander und somit ist
-
![{\displaystyle {}P={\left(P{\frac {aX+b}{X}}\right)}{\frac {{\frac {1}{a}}X-{\frac {b}{a}}}{X}}=Q{\frac {{\frac {1}{a}}X-{\frac {b}{a}}}{X}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f8cd6cd27cfdc2bb2a78b057e30ae746dc0f609)
und die Relation ist symmetrisch.
- Sei
-
![{\displaystyle {}P=a_{n}X^{n}+\cdots +a_{1}X+a_{0}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db56e6baaa7e6b2299a0c4983a012f967529a78e)
Bei
-
![{\displaystyle {}a_{0}=0\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e1e95fb8a80921f875b312535ca1f7e9af122af)
können wir
-
![{\displaystyle {}Q=P\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bbd95d4d331c6482f10286089289b5bfa5cda6ae)
nehmen. Es sei also
insbesondere nicht das Nullpolynom. Nach
dem Fundamentalsatz der Algebra
gibt es ein
mit
-
![{\displaystyle {}P(c)=0\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a07e2f6dcd4055513bcc6d7751ef672f4526b7ae)
Dann ist
-
![{\displaystyle {}Q:=P{\frac {X+c}{X}}=a_{n}(X+c)^{n}+\cdots +a_{1}(X+c)+a_{0}=XH+a_{n}c^{n}+\cdots +a_{1}c+a_{0}=XH\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/03839a908108a994ee8979810ea5e36219d5d377)
mit einem Polynom
. Offenbar ist
.
- Es sei wieder
-
![{\displaystyle {}P=a_{n}X^{n}+\cdots +a_{1}X+a_{0}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ab77c926dab4863602b5963f3def051f2bb00a2)
mit
.
Nach
dem Fundamentalsatz der Algebra
gibt es ein
mit
.
Dann ist
-
![{\displaystyle {}P{\frac {{\frac {1}{d}}X}{X}}=a_{n}{\left({\frac {1}{d}}X\right)}^{n}+\cdots +a_{1}\cdot {\frac {1}{d}}X+a_{0}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d49bfd52f5d2078bddaa6c59b29d181bb71a2c5a)
ein normiertes und zu
äquivalentes Polynom.
- Es sei
-
![{\displaystyle {}P=(X-\lambda _{1})^{n_{1}}\cdots (X-\lambda _{r})^{n_{r}}S\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d83f43580a664a0641115f8221c5860caa5aea55)
mit verschiedenen Nullstellen
und einem nullstellenfreien Polynom
. Dann ist
-
![{\displaystyle {}P{\frac {aX+b}{X}}=(aX+b-\lambda _{1})^{n_{1}}\cdots (aX+b-\lambda _{r})^{n_{r}}{\left(S{\frac {aX+b}{X}}\right)}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1efe0ce7bc754ec8bcd302be98409a246c05013f)
und dieses besitzt zumindest die
verschiedenen Nullstellen
. Wegen der Symmetrie der Situation sind es genau
Nullstellen.