Polynomring/Einsetzen von Linearform/Äquivalenzrelation/Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}K[X]$ der Polynomring in der einen Variablen ${}X$ über ${}K$. Zu einem Polynom ${}P\in K[X]$ und einer Linearform

${}L=aX+b\,$

mit ${}a\neq 0$ bezeichnet

$P{\frac {L}{X}}$

das Polynom, das entsteht, wenn man jedes Vorkommen von ${}X$ in ${}P$ durch ${}aX+b$ ersetzt. Dieser Einsetzungsprozess ist mit der Addition und der Multiplikation von Polynomen verträglich. Wir betrachten die Relation ${}\sim$ auf ${}K[X]$, die durch

${}P\sim Q\,,$

falls es eine Linearform ${}aX+b$ mit ${}a\neq 0$ mit

${}Q=P{\frac {aX+b}{X}}\,$

gibt.

a) Berechne

${\left(3X^{2}-4X+7\right)}{\frac {3X-5}{X}}.$

b) Zeige, dass durch ${}\sim$ eine Äquivalenzrelation gegeben ist.

c) Es sei ${}K={\mathbb {C} }$. Zeige, dass jedes Polynom einen Repräsentanten ${}Q$ mit

${}Q(0)=0\,$

besitzt.

d) Es sei ${}K={\mathbb {C} }$. Zeige, dass jedes Polynom ${}\neq 0$ einen normierten Repräsentanten besitzt.

e) Zeige, dass die Anzahl der Nullstellen eines Polynoms ${}P\neq 0$ nur von der Äquivalenzklasse ${}[P]$ abhängt.

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