Polynomring/Einsetzen von Linearform/Äquivalenzrelation/Aufgabe
Erscheinungsbild
Es sei ein Körper und der Polynomring in der einen Variablen über . Zu einem Polynom und einer Linearform
mit bezeichnet
das Polynom, das entsteht, wenn man jedes Vorkommen von in durch ersetzt. Dieser Einsetzungsprozess ist mit der Addition und der Multiplikation von Polynomen verträglich. Wir betrachten die Relation auf , die durch
falls es eine Linearform mit mit
gibt.
a) Berechne
b) Zeige, dass durch eine
Äquivalenzrelation
gegeben ist.
c) Es sei . Zeige, dass jedes Polynom einen Repräsentanten mit
besitzt.
d) Es sei
.
Zeige, dass jedes Polynom einen
normierten
Repräsentanten besitzt.
e) Zeige, dass die Anzahl der Nullstellen eines Polynoms nur von der Äquivalenzklasse abhängt.