Polynomring/Einsetzen von Linearform/Äquivalenzrelation/Aufgabe

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Es sei ein Körper und der Polynomring in der einen Variablen über . Zu einem Polynom und einer Linearform

mit bezeichnet

das Polynom, das entsteht, wenn man jedes Vorkommen von in durch ersetzt. Dieser Einsetzungsprozess ist mit der Addition und der Multiplikation von Polynomen verträglich. Wir betrachten die Relation auf , die durch

falls es eine Linearform  mit mit

gibt.

  1. Berechne
  2. Zeige, dass durch eine Äquivalenzrelation gegeben ist.
  3. Es sei . Zeige, dass jedes Polynom einen Repräsentanten mit

    besitzt.

  4. Es sei . Zeige, dass jedes Polynom einen normierten Repräsentanten besitzt.
  5. Zeige, dass die Anzahl der Nullstellen eines Polynoms nur von der Äquivalenzklasse abhängt.
Zur Lösung, Alternative Lösung erstellen