Polynomring/Gruppenoperation/Direkter Summand/Hilbertidealerzeuger und Algebraerzeuger/Fakt/Beweis

Beweis

Aufgrund der Homogenität der Operation ist der Invariantenring selbst positiv graduiert. Wir beweisen die Inklusion

$K[X_1,\dots ,X_n{]}^G\subseteq K[f_1,\dots ,f_m]$

durch Induktion über den Grad. Wir betrachten also ein homogenes Element  $f\in K[X_1,\dots ,X_n{]}^G$  von positivem Grad. Wegen  $f\in I_G$  kann man

$f=\sum _{j=1}^m{h}_j{f}_j$

mit homogenen Elementen $h_j$ von einem Grad $<\mathrm{grad}(f)$ schreiben. Der Reynolds-Operator

$\rho :K[X_1,\dots ,X_n]⟶K[X_1,\dots ,X_n{]}^G,$

angewendet auf diese Gleichung, liefert

$f=\rho (f)=\rho \left(\sum _{j=1}^m{h}_j{f}_j\right)=\sum _{j=1}^m\rho \left(h_j\right)f_j.$

Dabei ist der Grad von $\rho (h_j)$ gleich dem Grad von $h_j$ und somit kleiner als der Grad von $f$ und sie gehören zum Invariantenring, sodass die $\rho (h_j)$ nach Induktionsvoraussetzung in der von den $f_j$ erzeugten Algebra liegen.

Zur bewiesenen Aussage