Polynomring/Gruppenoperation/Direkter Summand/Hilbertidealerzeuger und Algebraerzeuger/Fakt/Beweis

Beweis

Aufgrund der Homogenität der Operation ist der Invariantenring selbst positiv graduiert. Wir beweisen die Inklusion

${}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]^{G}\subseteq K[f_{1},\ldots ,f_{m}]\,$

durch Induktion über den Grad. Wir betrachten also ein homogenes Element ${}f\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]^{G}$ von positivem Grad. Wegen ${}f\in I_{G}$ kann man

${}f=\sum _{j=1}^{m}h_{j}f_{j}\,$

mit homogenen Elementen ${}h_{j}$ von einem Grad ${}<\operatorname {grad} \,(f)$ schreiben. Der Reynolds-Operator

$\rho \colon K[X_{1},\ldots ,X_{n}]\longrightarrow K[X_{1},\ldots ,X_{n}]^{G},$

angewendet auf diese Gleichung, liefert

${}f=\rho (f)=\rho {\left(\sum _{j=1}^{m}h_{j}f_{j}\right)}=\sum _{j=1}^{m}\rho {\left(h_{j}\right)}f_{j}\,.$

Dabei ist der Grad der ${}\rho (h_{j})$ gleich dem Grad der ${}h_{j}$ und somit kleiner als der Grad von ${}f$ und sie gehören zum Invariantenring, sodass die ${}\rho (h_{j})$ nach Induktionsvoraussetzung in der von den ${}f_{j}$ erzeugten Algebra liegen.

Zur bewiesenen Aussage