Polynomring/Homogenisierung/Multiplikativ/Aufgabe/Lösung

Es seien

${}F=F_{d}+F_{d-1}+\cdots +F_{1}+F_{0}\,$

und

${}G=G_{e}+G_{e-1}+\cdots +G_{1}+G_{0}\,$

Polynome vom Grad ${}d$ bzw. ${}e$ in ihrer homogenen Zerlegung. Ihre Homogenisierungen sind

${}{\tilde {F}}=F_{d}+F_{d-1}Z+\cdots +F_{1}Z^{d-1}+F_{0}Z^{d}\,$

bzw.

${}{\tilde {G}}=G_{e}+G_{e-1}Z+\cdots +G_{1}Z^{e-1}+G_{0}Z^{e}\,.$

Das Produkt ist

${}{\tilde {F}}{\tilde {G}}=\sum _{k=0}^{d+e}P_{k}Z^{d+e-k}\,$

mit

${}P_{k}=\sum _{i=0}^{d}F_{i}G_{k-i}\,.$

Andererseits ist

${}FG=\sum _{k=0}^{d+e}H_{k}\,$

mit den homogenen Komponenten

${}H_{k}=\sum _{i=0}^{d}F_{i}G_{k-i}\,$

und die Homogenisierung davon ist

${}\sum _{k=0}^{d+e}H_{k}Z^{d+e-k}=\sum _{k=0}^{d+e}{\left(\sum _{i=0}^{d}F_{i}G_{k-i}\right)}Z^{d+e-k}=\sum _{k=0}^{d+e}P_{k}Z^{d+e-k}\,,$

was mit der ersten Berechnung übereinstimmt.

Zur gelösten Aufgabe