Polynomring/Homogenisierung/Multiplikativ/Aufgabe/Lösung

Es seien

F = F_{d} + F_{d - 1} + \dots + F_{1} + F_{0}

und

G = G_{e} + G_{e - 1} + \dots + G_{1} + G_{0}

Polynome vom Grad $d$ bzw. $e$ in ihrer homogenen Zerlegung. Ihre Homogenisierungen sind

\tilde{F} = F_{d} + F_{d - 1} Z + \dots + F_{1} Z^{d - 1} + F_{0} Z^{d}

bzw.

\tilde{G} = G_{e} + G_{e - 1} Z + \dots + G_{1} Z^{e - 1} + G_{0} Z^{e} .

Das Produkt ist

\tilde{F} \tilde{G} = \sum_{k = 0}^{d + e} P_{k} Z^{d + e - k}

mit

P_{k} = \sum_{i = 0}^{d} F_{i} G_{k - i} .

Andererseits ist

F G = \sum_{k = 0}^{d + e} H_{k}

mit den homogenen Komponenten

H_{k} = \sum_{i = 0}^{d} F_{i} G_{k - i}

und die Homogenisierung davon ist

\sum_{k = 0}^{d + e} H_{k} Z^{d + e - k} = \sum_{k = 0}^{d + e} (\sum_{i = 0}^{d} F_{i} G_{k - i}) Z^{d + e - k} = \sum_{k = 0}^{d + e} P_{k} Z^{d + e - k},

was mit der ersten Berechnung übereinstimmt.