Polynomring/Körper/Grad/Einfache Regeln/Fakt/Beweis

Beweis

Es seien

${}P=a_{n}X^{n}+a_{n-1}X^{n-1}+\cdots +a_{2}X^{2}+a_{1}X+a_{0}\,$

und

${}Q=b_{m}X^{m}+b_{m-1}X^{m-1}+\cdots +b_{2}X^{2}+b_{1}X+b_{0}\,$

mit  ${}a_{n},b_{m}\neq 0$,  also ${}n=\operatorname {grad} \,(P)$ und ${}m=\operatorname {grad} \,(Q)$. Bei  ${}m\neq n$  ist ${}\operatorname {max} (m,n)$ der Grad der Summe, bei  ${}m=n$  ist bei  ${}a_{n}\neq -b_{n}$  dies auch der Grad des Summenpolynoms, im andern Fall wird der Grad kleiner (die Summe kann ${}0$ sein, dann ist die Aussage als erfüllt zu interpretieren). Wegen Fakt ist  ${}a_{n}b_{m}\neq 0$  und somit ist ${}a_{n}b_{m}X^{n+m}$ der Leitterm des Produktpolynoms ${}PQ$, dessen Grad somit gleich ${}n+m$ ist.

Zur bewiesenen Aussage