Polynomring/K/X^2+7X+5/6X+3/Einheitsideal/Aufgabe/Lösung

Es ist

${}X^{2}+7X+5={\left(6X+3\right)}{\left({\frac {1}{6}}X+{\frac {13}{12}}\right)}+{\frac {7}{4}}\,.$

Da ${}X^{2}+7X+5$ und ${}{\left(6X+3\right)}{\left({\frac {1}{6}}X+{\frac {13}{12}}\right)}$ zum Ideal ${}{\mathfrak {a}}$ gehören, gehört auch

${}{\frac {7}{4}}=X^{2}+7X+5-{\left(6X+3\right)}{\left({\frac {1}{6}}X+{\frac {13}{12}}\right)}\,$

zu ${}{\mathfrak {a}}$. Damit gehört auch

${}1={\frac {4}{7}}\cdot {\frac {7}{4}}\,$

zum Ideal und wegen ${}P=P\cdot 1$ für alle Polynome ${}P$ ist ${}{\mathfrak {a}}$ das Einheitsideal.

Zur gelösten Aufgabe