Polynomring/Kommutativer Ring/Feine Z^n-Graduierung/Beispiel

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}R[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ der Polynomring in ${}n$ Variablen über ${}R$. Die additive Gruppe des Polynomrings ist einfach

$\bigoplus _{\nu \in \mathbb {N} ^{n}}R\cdot X^{\nu }.$

Daher ist der Polynomring ${}\mathbb {Z} ^{n}$-graduiert, wobei die ${}\nu =(\nu _{1},\ldots ,\nu _{n})$-te Stufe einfach aus allen ${}R$-Vielfachen des Monoms

${}X^{\nu }=X_{1}^{\nu _{1}}\cdots X_{n}^{\nu _{n}}\,$

besteht. Die Stufen zu ${}\nu \in \mathbb {N} ^{n}$ sind also isomorph zu ${}R$, die anderen Stufen, bei denen mindestens eine Komponente negativ ist, sind ${}0$. Diese Graduierung nennt man die feine Graduierung des Polynomringes.