Polynomring/Kommutativer Ring/Feine Z^n-Graduierung/Beispiel

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und $R[X_1,\dots ,X_n]$ der Polynomring in $n$ Variablen über $R$. Die additive Gruppe des Polynomrings ist einfach

$\underset{\nu \in {\mathbb{N}}^n}{⨁}R\cdot X^{\nu }.$

Daher ist der Polynomring ${\mathbb{Z}}^n$-graduiert, wobei die  $\nu =({\nu }_1,\dots ,{\nu }_n)$- te Stufe einfach aus allen $R$-Vielfachen des Monoms

$X^{\nu }=X_1^{{\nu }_1}\cdots X_n^{{\nu }_n}$

besteht. Die Stufen zu

 $\nu \in {\mathbb{N}}^n$  sind also isomorph zu $R$, die anderen Stufen, bei denen mindestens eine Komponente negativ ist, sind $0$. Diese Graduierung nennt man die feine Graduierung des Polynomringes.