Polynomring/Lemma von Gauß/Fakt/Beweis

Beweis

 Nehmen wir an, es gebe eine nicht-triviale Faktorzerlegung $f=gh$ mit nicht-konstanten Polynomen $g,h\in K[X]$. Sowohl in $g$ als auch in $h$ kommen nur endlich viele Nenner aus $R$ vor, sodass man mit einem gemeinsamen Hauptnenner  $r\in R$  multiplizieren kann und somit eine Darstellung $rf=\tilde{g}\tilde{h}$ mit $\tilde{g},\tilde{h}\in R[X]$ erhält. Dabei haben sich die Grade der beteiligten Polynome nicht geändert. Es sei  $r=p_1\cdots p_n$  die Primfaktorzerlegung von $r$. Nach Fakt ist $p_1$ auch im Polynomring $R[X]$ prim. Da es das Produkt $\tilde{g}\tilde{h}$ teilt, muss es einen der Faktoren teilen, sagen wir $\tilde{h}$. Dann kann man mit $p_1$ kürzen und erhält eine Gleichung der Form

$r^{\prime }f=\tilde{g}{\tilde{h}}^{\prime }.$

Dabei ändern sich wieder die Grade nicht. So kann man sukzessive alle Primfaktoren wegkürzen und erhält schließlich eine Zerlegung

$f=g^{\prime }{h}^{\prime }$

mit nicht konstanten Polynomen  $h^{\prime },g^{\prime }\in R[X]$  im Widerspruch zur Voraussetzung.

Zur bewiesenen Aussage