Polynomring/Potenz von X/Teiler/Aufgabe/Lösung

Die angegeben Potenzen sind offenbar Teiler von ${}X^{n}$. Die Umkehrung beweisen wir durch Induktion über ${}n$. Als Teiler kommen nur Polynome in Frage, deren Grad kleiner/gleich ${}n$ ist. Sei ${}n=1$. Eine Faktorzerlegung in normierte Polynome muss die Form

${}X=(X+a)\cdot 1\,$

haben, was ${}a=0$ erzwingt. Es sei nun ${}n$ beliebig und eine Faktorzerlegung

${}X^{n}=P\cdot Q\,$

in normierte Polynome ${}P,Q$ vorgegeben. Da ${}0$ eine Nullstelle links ist, muss ${}P(0)=0$ oder ${}Q(0)=0$ sein. Sagen wir der erste Fall liegt vor. Nach Fakt ist ${}X$ ein Teiler von ${}P$ und somit ist

${}X^{n}=({\tilde {P}}X)\cdot Q\,.$

Da ${}K[X]$ nullteilerfrei ist, folgt

${}X^{n-1}={\tilde {P}}\cdot Q\,$

und die Aussage folgt aus der Induktionsvoraussetzung.

Zur gelösten Aufgabe