Polynomring/Syzygiengarbe zu Variablen/Erste Kohomologie/Beispiel

Wir knüpfen an Beispiel an, d.h. wir betrachten auf dem Polynomring ${}R=K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ mit ${}n\geq 2$ und die kurze exakte Sequenz

$0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,\operatorname {Syz} {\left(X_{1},\ldots ,X_{n}\right)}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,R^{n}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\left(X_{1},\ldots ,X_{n}\right)}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0.$

Die Einschränkung der zugehörigen Garbensequenz auf den punktierten Raum ${}U={{\mathbb {A} }_{K}^{n}}\setminus \{(0,\ldots ,0)\}$ ist

$0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {S}}={\widetilde {\operatorname {Syz} {\left(X_{1},\ldots ,X_{n}\right)}}}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {O}}_{U}^{n}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {O}}_{U}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0.$

Die Auswertung dieser Garbensequenz auf ${}U$ ergibt

$0\longrightarrow \operatorname {Syz} {\left(X_{1},\ldots ,X_{n}\right)}\longrightarrow R^{n}\longrightarrow R\longrightarrow H^{1}(U,{\mathcal {S}})\longrightarrow H^{1}(U,{\mathcal {O}}_{U}^{n})\longrightarrow .$

Da das Bild der Abbildung ${}R^{n}\rightarrow R$ nach wir vor das maximale Ideal, ist diese Abbildung nicht surjektiv und es folgt, dass ${}H^{1}(U,{\mathcal {S}})\neq 0$ ist.