Polynomring/Syzygiengarbe zu Variablen/Beispiel

Die Variablen ${}X_{1},\ldots ,X_{n}\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]=R$ definieren das maximale Ideal ${}{\left(X_{1},\ldots ,X_{n}\right)}$ und die kurze exakte Sequenz

$0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,\operatorname {Syz} {\left(X_{1},\ldots ,X_{n}\right)}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,R^{n}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\left(X_{1},\ldots ,X_{n}\right)}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0$

von ${}R$-Moduln, wobei der ${}i$-te Standardvektor ${}e_{i}$ auf ${}X_{i}$ geschickt wird. Dies induziert gemäß Fakt eine kurze exakte Sequenz von quasikohärenten Moduln

$0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\widetilde {\operatorname {Syz} {\left(X_{1},\ldots ,X_{n}\right)}}}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {O}}_{{\mathbb {A} }_{K}^{n}}^{n}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\widetilde {\left(X_{1},\ldots ,X_{n}\right)}}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0$

auf dem affinen Raum ${}{{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$. In der Mitte steht eine freie Garbe, links und rechts stehen (außer bei kleinen ${}n$) keine lokal freien Garben. Wenn man diese Sequenz aber auf das punktierte Spektrum

${}U=D(X_{1},\ldots ,X_{n})\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}\,$

einschränkt, so wird rechts nach Aufgabe das maximale Ideal zur Strukturgarbe und somit liegt die Situation

$0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,\operatorname {Syz} {\left(X_{1},\ldots ,X_{n}\right)}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {O}}_{U}^{n}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {O}}_{U}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0$

aus Bemerkung vor, wobei jetzt links die lokal freie Syzygiengarbe steht. Für ${}n=3$ ist dies die Garbenversion zu Beispiel.