Polynomring/Syzygiengarbe zu Variablen/Beispiel

Die Variablen  $X_1,\dots ,X_n\in K[X_1,\dots ,X_n]=R$  definieren das maximale Ideal $(X_1,\dots ,X_n)$ und die kurze exakte Sequenz

$0\stackrel{}{⟶}\mathrm{Syz}(X_1,\dots ,X_n)\stackrel{}{⟶}{R}^n\stackrel{}{⟶}(X_1,\dots ,X_n)\stackrel{}{⟶}0$

von $R$-Moduln, wobei der $i$-te Standardvektor $e_i$ auf $X_i$ geschickt wird. Dies induziert gemäß Fakt eine kurze exakte Sequenz von quasikohärenten Moduln

$0\stackrel{}{⟶}\widetilde{\mathrm{Syz}(X_1,\dots ,X_n)}\stackrel{}{⟶}{𝒪}_{{𝔸}_K^n}^n\stackrel{}{⟶}\widetilde{(X_1,\dots ,X_n)}\stackrel{}{⟶}0$

auf dem affinen Raum ${𝔸}_K^n$. In der Mitte steht eine freie Garbe, links und rechts stehen (außer bei kleinen $n$) keine lokal freien Garben. Wenn man diese Sequenz aber auf das punktierte Spektrum

$U=D(X_1,\dots ,X_n)\subseteq {𝔸}_K^n$

einschränkt, so wird rechts nach Aufgabe das maximale Ideal zur Strukturgarbe und somit liegt die Situation

$0\stackrel{}{⟶}\mathrm{Syz}(X_1,\dots ,X_n)\stackrel{}{⟶}{𝒪}_U^n\stackrel{}{⟶}{𝒪}_U\stackrel{}{⟶}0$

aus Bemerkung vor, wobei jetzt links die lokal freie Syzygiengarbe steht. Für  $n=3$  ist dies die Garbenversion zu Beispiel.