Polynomring/Z/Generischer Punkt/Abschluss/Aufgabe

Es sei  $F\in \mathbb{Q}[X]$  ein irreduzibles Polynom mit dem zugehörigen Primideal

$𝔭=(F)\in \mathrm{Spek}(\mathbb{Q}[X])\subseteq \mathrm{Spek}(\mathbb{Z}[X]),$

wobei die letzte Inklusion zur Nenneraufnahme $\mathbb{Z}[X]\to \mathbb{Q}[X]$ im Sinne von Fakt  (3) gehört. Zeige, dass der Abschluss von $𝔭$ in $\mathrm{Spek}(\mathbb{Z}[X])$ gleich $V(𝔞)$ mit

$𝔞=\{qF\mid q\in \mathbb{Q},qF\in \mathbb{Z}[X]\}$

ist. Zeige ferner, dass zu isomorphen Restekörpern $\kappa ({𝔭}_1)$ und $\kappa ({𝔭}_2)$ die Restklassenringe $R/{𝔞}_1$ und $R/{𝔞}_2$ nicht isomorph sein müssen.

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