Polynomring/Z/Generischer Punkt/Abschluss/Aufgabe

Es sei ${}F\in \mathbb {Q} [X]$ ein irreduzibles Polynom mit dem zugehörigen Primideal

${}{\mathfrak {p}}=(F)\in \operatorname {Spek} {\left(\mathbb {Q} [X]\right)}\subseteq \operatorname {Spek} {\left(\mathbb {Z} [X]\right)}\,,$

wobei die letzte Inklusion zur Nenneraufnahme ${}\mathbb {Z} [X]\rightarrow \mathbb {Q} [X]$ im Sinne von Fakt  (3) gehört. Zeige, dass der Abschluss von ${}{\mathfrak {p}}$ in ${}\operatorname {Spek} {\left(\mathbb {Z} [X]\right)}$ gleich ${}V({\mathfrak {a}})$ mit

${}{\mathfrak {a}}={\left\{qF\mid q\in \mathbb {Q} ,\,qF\in \mathbb {Z} [X]\right\}}\,$

ist. Zeige ferner, dass zu isomorphen Restekörpern ${}\kappa ({\mathfrak {p}}_{1})$ und ${}\kappa ({\mathfrak {p}}_{2})$ die Restklassenringe ${}R/{\mathfrak {a}}_{1}$ und ${}R/{\mathfrak {a}}_{2}$ nicht isomorph sein müssen.

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