Polynomring/Z und Q/Lemma von Gauß/Fakt/Beweis

Beweis

 Nehmen wir an, es gebe eine nicht-triviale Faktorzerlegung ${}f=gh$ mit nicht-konstanten Polynomen ${}g,h\in \mathbb {Q} [X]$. Sowohl in ${}g$ als auch in ${}h$ kommen nur endlich viele Nenner aus ${}\mathbb {Z}$ vor, sodass man mit einem gemeinsamen Hauptnenner ${}r\in \mathbb {Z}$ multiplizieren kann und somit eine Darstellung ${}rf={\tilde {g}}{\tilde {h}}$ mit ${}{\tilde {g}},{\tilde {h}}\in \mathbb {Z} [X]$ erhält. Dabei haben sich die Grade der beteiligten Polynome nicht geändert. Es sei ${}r=p_{1}{\cdots }p_{n}$ die Primfaktorzerlegung von ${}r$. Nach Fakt ist ${}p_{1}$ auch im Polynomring ${}\mathbb {Z} [X]$ prim. Da es das Produkt ${}{\tilde {g}}{\tilde {h}}$ teilt, muss es einen der Faktoren teilen, sagen wir ${}{\tilde {h}}$. Dann kann man mit ${}p_{1}$ kürzen und erhält eine Gleichung der Form

${}r'f={\tilde {g}}{\tilde {h}}'\,.$

Dabei ändern sich wieder die Grade nicht. So kann man sukzessive alle Primfaktoren wegkürzen und erhält schließlich eine Zerlegung

${}f=g'h'\,$

mit nicht konstanten Polynomen ${}h',g'\in \mathbb {Z} [X]$ im Widerspruch zur Voraussetzung.

Zur bewiesenen Aussage