Polynomring/Z und Q/Lemma von Gauß/Fakt/Beweis

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Beweis

 Nehmen wir an, es gebe eine nicht-triviale Faktorzerlegung  mit nicht-konstanten Polynomen . Sowohl in als auch in kommen nur endlich viele Nenner aus vor, so dass man mit einem gemeinsamen Hauptnenner multiplizieren kann und somit eine Darstellung  mit erhält. Dabei haben sich die Grade der beteiligten Polynome nicht geändert. Es sei die Primfaktorzerlegung von . Nach Fakt ist auch im Polynomring prim. Da es das Produkt teilt, muss es einen der Faktoren teilen, sagen wir . Dann kann man mit kürzen und erhält eine Gleichung der Form

Dabei ändern sich wieder die Grade nicht. So kann man sukzessive alle Primfaktoren wegkürzen und erhält schließlich eine Zerlegung

mit nicht konstanten Polynomen  im Widerspruch zur Voraussetzung.

Zur bewiesenen Aussage