Polynomring (Körper)/Nullstellen/Linearer Faktor/Fakt/Beweis

Beweis

Wenn ${}P$ ein Vielfaches von ${}X-a$ ist, so kann man

${}P=(X-a)Q\,$

mit einem weiteren Polynom ${}Q$ schreiben. Einsetzen ergibt

${}P(a)=(a-a)Q(a)=0\,.$

Im Allgemeinen gibt es aufgrund der Division mit Rest eine Darstellung

${}P=(X-a)Q+R\,,$

wobei  ${}R=0$  oder aber den Grad ${}0$ besitzt, also so oder so eine Konstante ist. Einsetzen ergibt

${}P(a)=R\,.$

Wenn also  ${}P(a)=0$  ist, so muss der Rest  ${}R=0$  sein, und das bedeutet, dass  ${}P=(X-a)Q$  ist.

Zur bewiesenen Aussage