Positionswurf beim Basketball

Modellierungsthema

Die meisten Korbversuche im Basketball werden als Positions- oder Sprungwürfe durchgeführt. Viele professionelle Basketballspieler haben ihre eigene Technik und ihre Würfe unterscheiden sich in Abwurfwinkel, Flugkurve, Rotation des Balles, etc. In diesem Modell wollen wir den optimalen Wurf mit Einbeziehung folgender Einflussgrößen. :

Abwurfwinkel, Flugkurve, Abwurfgeschwindigkeit

Änderung der Wurfposition

Veränderung des Wurfes bei unterschiedlichem Luftwiderstand
Rotation des Balles
Veränderung der Ballgröße (Damen- und Herrenball)

Verwendete Größen (nach NBA Norm; gerundet)

Basketball
	Damen (Größe 6)	Herren (Größe 7)	Kinderball (Größe 5)
Durchmesser	0,23m	0,24m	0,22m
Querschnittsfläche	0,042m	0,045m
Gewicht	0,567kg	0,510kg	0,500kg

Basketballfeld
Korbhöhe	3,05m
Korbdurchmesser	0,45m
Freiwurflinie	4,19m
Dreierlinie	7,24m Bogen/ 6,70m Gerade
Mittellinie	14m

Niveauzuordnung

Sekundarstufe l

Welcher ist der flachste Einfallwinkel in den Korb (Ermittlung des minimalen Einfallwinkels mithilfe von Trigonometrie)
Wie weit kann der Mittelpunkt des Balls von der Mitte des Korbes abweichen und wie beeinflusst dies den Wurf? (Maximale Abweichung mithilfe von Messen und Zeichnen)

Sekundarstufe 2

Ermittlung der Wurfparabel bei minimalem Kraftaufwand
Ermittlung des Abwurfwinkels
Wie verändert sich der Abwurfwinkel bei variabler Abwurfhöhe und Abstand zum Korb?

Universität

In welchem Verhältnis stehen Abwurfwinkel und Abwurfgeschwindigkeit zueinander?
Wie verändert sich die Geschwindigkeit und die Strecke, wenn man den Luftwiderstand berücksichtigt?
Wie stark beeinflusst die Rotation des Balles die Flugkurve? (Magnuseffekt)
Betrachtung der horizontalen und vertikalen Flugkurve.

Zuordnung des Modellierungsthemas zu den Nachhaltigkeitszielen (Sustainable Development Goals)

SDG3 (Good Health and Well-being): Nach einer OECD-Studie ist fast jeder vierte Deutsche fettleibig. Aus diesem Grund und aus vielen mehr ist das Sporttreiben essentiell wichtig für die Gesundheit. Eine Sportart macht dann besonders Spaß und wird regelmäßig ausgeübt, wenn man Erfolge erfährt. Deswegen ist es wichtig die richtige Wurftechnik zu erlernen, sodass die Erfolge nicht aus bleiben.
Des Weiteren ist eine Korrekte Bewegungsausführung wichtig um Verletzungen zu vermeiden. Insbesondere im Basketball sind Verletzungen im Sprung- und Kniegelenk keine Seltenheit.

SDG 5 (Gender Equality) Vor allem im Sport hat Solidarität, Chancengleichheit, Fairplay, Toleranz, Integration und Inklusion einen hohen Stellenwert. Insbesondere die Vereine und Verbände arbeiten nach diesen Werten und Maßstäben und versuchen den Kindern diese zu vermitteln.
Auch in unserem Modell berücksichtigen wir beide Geschlechter indem wir uns sowohl den Wurf des Damenballs, als auch den des Herrenballs analysieren.

Modellierungszyklus

Sekundarstufe 1

Zyklus 1

In diesem Zyklus ermitteln wir den flachsten Einfallwinkel. Wir betrachten hier den Winkel eines direkten Treffers ohne die Benutzung des Brettes oder eines Treffers durch Ringeberührung. Um diesen zu ermitteln bedienen wir uns der Trigonometrie, aus dem Themenbereich "L2: Messen und Größen" . Wir untersuchen verschiedene Ballgrößen, den Herrenball (Größe 7), den Damenball (Größe 6) und dem Kinderball (Größe 5). Man betrachtet den Durchmesser des Korbes (45cm) als Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks und die Kathete d als Durchmesser des Balles (Herrenball/Größe 7 ~ 24cm, Damenball/Größe 6 ~ 23cm, Kinderball/Größe 5 ~ 22cm). Zur Ermittlung des minimalen Einfallwinkels ergibt sich so folgende Rechnung:

Herrenball/Größe 7: $\arcsin \left({\frac {24}{45}}\right)\thickapprox 32,23$

Damenball/Größe 6: $\arcsin \left({\frac {23}{45}}\right)\thickapprox 30,74$

Kinderball/Größe 5: $\arcsin \left({\frac {22}{45}}\right)\thickapprox 29,27$

Mithilfe von GeoGebra wird das Problem visualisiert und somit verständlicher. Hier gezeigt an einem Beispiel von dem minimalen Einfallwinkel eines Herrenballs:

Zyklus 2

Im zweiten Zyklus versuchen wir zu ermitteln wie weit der Ball vom Mittelpunkt des Korbes abweichen kann und dennoch in den Korb fallen kann. Wie im ersten Zyklus wird sowohl das Brett als auch mögliche Treffer durch Ringberührung vernachlässigt. Die fachwissenschaftliche Grundlagen, welche man benötigt, kommen aus den Bereichen "L2: Messen und Größen" und "L1: Zahl und Zahlenbereiche". Man misst den Radius des Korbes und subtrahiert den Radius des Balles, um so die Entfernung der beiden Mittelpunkte zu ermitteln.

Hierbei wird ebenfalls als einziger Einflussfaktor die Ballgröße berücksichtigt.

$Herrenball:22,5cm-12cm=10,5cm$

$Damenball:22,5cm-11,5cm=11cm$

$Kindeball:22,5cm-11cm=11,5cm$

Auch in diesem Zyklus visualisieren wir das Problem mit GeoGebra.

Wie beeinflusst dies nun den Wurf?

Von oben betrachtet kann man eine gerade Linie zwischen dem Werfer und der Korbmitte ziehen. Wir wollen nun bestimmen um wie viel Grad der Wurf von dieser idealen Linie abweichen kann. Hierfür variieren wir wie gehabt die Ballgrößen und zusätzlich die Distanz zum Korb. Den Winkel erhalten wir indem wir uns das Dreieck mit der seitlichen Abweichung als Gegenkathete und die Distanz zum Korb als Ankathete betrachten. Der Abweichungswinkel zur optimalen Linie erhalten wir folglich aus dem Arcus Tangens der beiden Katheten. Wir haben unterschieden zwischen Nahdistanz(3m), Freiwurf (4,19m), Mitteldistanz(5m), Ecken-Dreier(6,7m) und dem normaler Dreipunkte Wurf (7,24m). Um dies übersichtlich zu bestimmen, verwenden wir ein Tabellenkalkultionsprogramm.

Fazit: Wie erwartet wird der Abwichungswinkel kleiner je höher die Distanz zum Korb wird. Es fällt auf, dass die Winkel sehr klein sind, das heißt, als Werfer sollte man stets versuchen auf der optimalen Linie zu werfen. Obwohl wir in den Zyklen Treffer durch mögliche Ringerührung und Treffer über das Brett vernachlässigt haben, beschreiben wir hier die minimalen Anforderungen für einen erfolgreichen Positionswurf. Für einen möglichst schönen und optimalen Positionswurf sollte stets die Idealllinie eingehalten werden und ein größerer Einfallwinkel als der Minimale gewählt werden.

Da die Winkel sehr klein sind, vernachlässigen wir für die weiteren Zyklen in der Sekundarstufe 2 und Universitätsniveau und bewegen uns im Folgenden

Sekundarstufe 2

Zyklus 1

Im ersten Zyklus bestimmen wir die Wurfparabel eines Positionswurfes beim Basketball mit minimalem Kraftaufwand und den dazugehörigen Abwurfwinkel. Hierfür geben wir den Abstand zum Korb (4,19m/Freiwurf) und die Abwurfhöhe (2m) vor. Des Weiteren übernehmen wir den minimalen Einfallwinkel aus dem vorherigen Modellierungszyklus. Mithilfe der gegebenen Größen erhalten wir folgende Funktionsgleichung (zur Rechnung):

$f(x)={\frac {(1,05+4,19*tan(32))}{-17,5561}}*x^{2}+-tan(32)-8,38*{\frac {1,05+4,19*tan(32)}{-17,5561}}*x+2$

vereinfacht:

$f(x)\thickapprox -0,209x^{2}+1,126*x+2$

Wir erhalten folgenden Abwurfwinkel:

$\alpha \thickapprox arctan(1,126)\thickapprox 48,4$

Zyklus 2

Im zweiten Zyklus wird untersucht, wie sich die Wurfparabel und damit auch der Abwurfwinkel bei variablem Abstand zum Korb und Abwurfhöhe verändern. Nur der minimale Einfallwinkel ist gegeben, so erhalten wir folgende Funktionsgleichung:

$f(x)={\frac {(3,05-h+w*tan(32))}{-w^{2}}}*x^{2}+{\frac {-w*tan(32)+6,1-2h+2w*tan(32)}{w}}*x+h$

Mithilfe von GeoGebra können wir eine Funktionsschar und einen Funktion mit Schiebereglern plotten, um die Wurfparabeln zu visualisieren:

Zur Bestimmung der Abwurfwinkel mit Betrachtung verschiedener Distanzen zum Korb und einer gewählten Abwurfhöhe (2,10m, Abwurfhöhe von einem der Referenten) verwenden wir folgende Formel: $\alpha =arctan({\frac {-w*tan(32)+6,1-2h+2w*tan(32)}{w}})$

Universitätsniveau

Zyklus 1

Wir analysieren Positionswurf beim Basketball mithilfe des Modells des schiefen Wurfs aus der Physik. Im ersten Zyklus vernachlässigen wir den Luftwiderstand und die Rotationsgeschwindigkeit des Balles. In diesem Zyklus wollen wir den perfekten Abwurfwinkel bestimmen, sodass die Abwurfgeschwindigkeit und die dahinter steckende Kraft des Werfers möglichst minimal bleibt. Bei der Ermittlung wurde sowohl der Abstand vom Korb als auch die Körpergröße des Werfers berücksichtigt, sodass je nach Körpergröße und Abstand der bestmöglichste Abwurfwinkel gefunden werden kann.

Für die Ermittlung dieser Daten haben wir betrachtet, wie sich die Abwurfgeschwindigkeit je nach Abwurfwinkel verhält. Hierfür variierten wir den Abwurfwinkel zwischen 38° und 61°, da alle Winkel außerhalb dieser Spanne für unser Modell unrealistisch wirken. Als einzige wirkende Kraft verwendeten wir die Gravitationskraft, welche die Geschwindigkeit in y-Richtung beeinflusst. Die Formel von der Abwurfgeschwindigkeit haben wir von der y(x)-Formel des Schrägen Wurfs hergeleitet (zur Herleitung).

Mithilfe von Tabellenkalkulation ergeben sich für die unterschiedlichen Körpergrößen, folgende Abwurfwinkel (geworfen wurde von der Freiwurflinie bzw. aus 4,19m Entfernung):


Körpergröße	Abwurfgeschwindigkeit	Abwurfwinkel
1,70 m	7,512 m/s	54°
1,80m	7,427 m/s	53°
1,90m	7,342 m/s	53°
2,00m	7,258 m/s	52°
2,10m	7,174 m/s	51°

Nun haben wir die Körpergröße als konstant genommen (2m Körpergröße) und die Abwurfweite variiert. Wir haben unterschieden zwischen Nahdistanz(3m), Freiwurf (4,19m), Mitteldistanz(5m), Ecken-Dreier(6,7m) und dem normaler Dreipunkte Wurf (7,24m):


Distanz	Abwurfgeschindigkeit	Abwurfwinkel
Nahdistanz (3m)	6,441 m/s	55°
Freiwurf (4,19m)	7,258 m/s	52°
Mitteldistanz (5m)	7,773 m/s	51°
Ecken-Dreier (6,7m)	8,766 m/s	49°
Dreier (7,24m)	9,059 m/s	49°

Zusammenfassend lässt sich also sagen, dass sich der Abwurfwinkel zwischen 49° und 55° bewegen sollte. Da sich ein Basketballspieler nicht auf das Grad genau korrigieren kann reicht die Spanne zwischen 49 und 55 für den Spieler aus, um sich daran zu orientieren und seinen Wurf zu optimieren. Auffällig ist, dass sich bei steigender Entfernung vom Korb, die minimale Abwurfgeschwindigkeit auch steigt und der Abwurfwinkel spitzer wird, wenn auch nur unwesentlich um wenige Grad. Außerdem fällt auf, dass bei kleinerer Körpergröße, ein höherer Abwurfwinkel gewählt werden muss und auch die minimale Abwurfgeschwindigkeit größer ist.

Für die Einsicht der genauen Daten hier klicken.

Zyklus 2

Im zweiten Zyklus betrachten wir den Wurf mit Berücksichtigung der Luftwiderstandskraft. Hierfür betrachten wir den Verlauf der Strecke und der Geschwindigkeiten in x- und y-Richtung. Wir verwenden das Modell der Newtonschen Reibung um die Luftwiderstandskraft zu bestimmen. Diese Kraft wirkt immer entgegen der Bewegungsrichtung des Basketballs. Weiterhin zeigt die Gravitationskraft senkrecht nach unten. Der Winkel zwischen dem Geschwindigkeitsvektor in x-Richtung und den endgültigen Geschwindigkeitsvektor, ist der Abwurfwinkel.

Wir definieren den Luftwiderstandsfaktor wie folgt:

$k={\frac {c_{w}*A*\rho }{2}}=5,4*10^{-3}$

Wir wollen folgende Differentialgleichungen lösen (zur Herleitung):

$m*{d \over dt}*v_{x}=-k*{\sqrt {v_{x}(t)^{2}+v_{y}(t)^{2}}}*v_{x}(t)$

$m*{d \over dt}*v_{y}=-k*{\sqrt {v_{x}(t)^{2}+v_{y}(t)^{2}}}*v_{y}(t)-m*g$

Wir benutzen das explizite Euler-Verfahren zur Lösung der Differentialgleichungen und benutzen Octave, um das Euler-Verfahren anzuwenden. Hier das Skript für eine Abwurfgeschwindigkeit von 7,258 m/s bei einem Abwurfwinkel von 52°.

Die Geschwindigkeiten müssen wir nun integrieren, um so die Bewegungsgleichungen in x- und y-Richtung in Abhängigkeit von der Zeit zu erhalten. Diese Integrale bestimmen wir näherungsweise mit der Trapezregel. So erhalten wir folgende Flugkurve.

Betrachten wir nun den Freiwurf mit unserem im Zyklus 1 ermittelten Abwurfwinkel-Intervall von 48°-55°

In der Regel muss man bei numerischen Integrationen immer einen Fehler berücksichtigen. Der Fehler bei der Trapezregel setzt sich folgendermaßen zusammen: |𝐹|≤((𝑏−𝑎))/12 ℎ^2∗max⁡|𝑓′′|. Da unsere Geschwindigkeitsgleichungen v_x(t) und v_y(t) lineare Funktionen sind, ergibt die zweite Ableitung jeweils Null, weshalb der Fehler zu vernachlässigen ist und die Trapezregel somit exakt ist.

Betrachtet man einen Freiwurf mit einem Abwurfwinkel von 47°, was außerhalb unseres optimalen Abwurfwinkel-Intervalls liegt, erkennt man, dass der Korb (knapp) verfehlt wird.

Zusammenfassend lässt sich sagen, dass wenn wir einen Ball mit so wenig Kraftaufwand wie möglich in den Korb werfen wollen, scheint unser anfangs bestimmtes Abwurfwinkel-Intervall von 48°-55° weiterhin als valide.

Zyklus 3

Beim Positionswurf im Basketball ist der sogenannte Backspin (Rückwertsdrall) des Balls essentiell. Dieser wird bei optimaler Wurftechnik durch das schnelle Abklappen des Handgelenks und durch das Abrollen des Balls bis über die Fingerspitzen erzeugt. Um diese neue Einflussgröße beschreiben zu können, betrachten wir den Magnus-Effekt.

Die Magnuskraft bildet sich aus dem Vektorprodukt von ${\vec {v}}$ und ${\vec {\omega }}$ und steht somit rechtwinkelig zu den beiden Vektoren.

${\vec {F_{M}}}={\begin{bmatrix}-v_{y}\\v_{x}\end{bmatrix}}*{F_{M} \over v}={\begin{bmatrix}-v_{y}\\v_{x}\end{bmatrix}}*{C*v*\omega \over v}={\begin{bmatrix}-v_{y}\\v_{x}\end{bmatrix}}*C*\omega$

Wir betrachten somit zwei neue Differentialgleichungen(zur Herleitung):

$m*{d \over dt}*v_{x}=-k*{\sqrt {v_{x}(t)^{2}+v_{y}(t)^{2}}}*v_{x}(t)-v_{y}(t)*C*\omega$

$m*{d \over dt}*v_{y}=-k*{\sqrt {v_{x}(t)^{2}+v_{y}(t)^{2}}}*v_{y}(t)-m*g+v_{x}(t)*C*\omega$

Zur Lösung des Problems verwenden wir die selben Methoden wie im zweiten Zyklus.

Der Magnus-Effekt "verzeiht" einen ungünstig gewählten Abwurfwinkel. So trifft man bereits mit einer Winkelgeschwindigkeit von 3 Umdrehungen pro Sekunde, was eher im niedrigen Bereich ist (bessere Werfer haben eine höhere Winkelgeschwindigkeit bzw. mehr Backspin), bei einem Abwurfwinkel von 45°, erst bei einem Abwurfwinkel von 44° verfehlt man den Korb. Das heißt schon mit einem niedrigen Backspin, kann man das Abwurfwinkel-Intervall erweitern.

Der Magnus-Effekt beeinflusst nicht nur den Abwurfwinkel, sondern auch die Abwurfgeschwindigkeit. So erlaubt mehr Backspin (eine höhere Winkelgeschwindigkeit) eine geringere Abwurfgeschwindigkeit. Aufgrund dieser Tatsache sagt man auch, dass gute Werfer mit mehr "Gefühl" werfen. Damit ist gemeint, dass weniger Kraft in die Abwurfgeschwindigkeit investiert wird, sich aber dafür mehr auf den Backspin konzentriert wird. Wie genau der Magnus-Effekt auf die Geschwindigkeit sich auswirkt, müsste man in weiteren Zyklen betrachten.

Modellierungsalternativen

Die erste Alternative, die man hätte wählen können, wäre die Einbindung des Bretts beim Positionswurf. Dieses ermöglicht dem Werfer neue Möglichkeiten in den Korb zu treffen und würde über weite Strecken unser Modell ergänzen. Wir haben das Brett bewusst vernachlässigt da dieses nur in den seltensten Fällen beim Wurf wird, da es zum einen je nach Position des Werfers, quasi unmöglich ist mithilfe des Bretts in den Korb zu treffen. Fast jeder Basketballspieler wirft ohne Brett. Nur beim Korbleger wird das Brett kontinuierlich verwendet, aber da dieser aus einer sehr kurzen Distanz und aus der Bewegung ausgeübt wird, zählt der Korbleger nicht zum Positionswurf. Des Weiteren hätte man den Sprungwurf mit einbeziehen können, schließlich wirft man im Basketball in den seltensten Fällen aus dem Stand. Dies hätte den Abwurfpunkt weiter nach oben verlagert.

Als zweite Alternative hätte man die Differentialgleichungen auf einem anderen Weg lösen können und somit etwas andere Ergebnisse erzählen können. Zum Beispiel hätte man anstatt das explizite Eulerverfahren, das implizite Eulerverfahren wählen können.

Außerdem hätte man einen anderen Weg als die Trapezregel zum Lösen der numerischen Integration wählen können. Alternativ hätte man die Simpsonregel oder auch die Mittelpunktregel verwenden können und dadurch einen anderen Fehler bzw. eine andere Abweichung erzielen können. Jedoch sind unsere zu integrierenden Funktionen zwei Geraden (Funktionen ersten Gerades), das heißt, dass die zweite Ableitung gleich 0 ist, weshalb die Trapezregel für dieses Beispiel exakt ist.

Quellen

„So wirft Dirk Nowitzki !“ Rekonstruktion der Wurfparabel beim Basketball, Herbert Henning, Benjamin John, Maik Osterland (2011), Magdeburg Link: http://www.mathematik.tu-dortmund.de/ieem/bzmu2011/_BzMU11_2_Einzelbeitraege/BzMU11_HENNING_H_Nowitzki.pdf
"Flugbahn eines Fußballs" http://www.math-tech.at/Beispiele/upload/nie-ballistik%20Prime-pdf.pdf