Positionswurf beim Basketball/Sekundarstufe lI

Aufgabenstellung

Tim ist im letzten Viertel von seinem Basketball Spiel, seine Kräfte lassen nach. In welchem Winkel muss Tim den Ball von der Freiwurflinie werfen, damit er so wenig Kraft wie nötig aufwendet? Der Korb ist 4.19m von der Freiwurflinie entfernt und Tims Abwurfpunkt ist genau 2m hoch.

Zyklus 1

Folgende Bedingungen sind gegeben:

• Polynom 2. Grades
• f(0) = 2
• f(4,19) = 3,05
• f'(4,19) = -tan(32)

$f(x)=ax^{2}+bx+c$

$f'(x)=2ax+b$

$I)f(0)=a*0^{2}+b*0+c=2$

→ $c=2$

$II)f(4,19)=4,19^{2}*a+4,19*b+2=3,05$

$III)f'(4,19)=2*4,19*a+b=-tan(32)$

Löst man diese Gleichungen nach a und b auf, erhält man:

→ $a={\frac {(1,05+4,19*tan(32))}{-17,5561}}\thickapprox -0,209$

→ $b=-tan(32)-8,38*{\frac {1,05+4,19*tan(32)}{-17,5561}}\thickapprox 1,126$

Somit lautet die vollständige Funktionsgleichung:

$f(x)={\frac {(1,05+4,19*tan(32))}{-17,5561}}*x^{2}+-tan(32)-8,38*{\frac {1,05+4,19*tan(32)}{-17,5561}}*x+2$

bzw. $f(x)\thickapprox -0,209x^{2}+1,126*x+2$

Um den Abwurfwinkel zu bestimmen, benötigt man zunächst die Steigung an der Stelle 0.

$f'(0)=2*{\frac {(1,05+4,19*tan(32))}{-17,5561}}*0-tan(32)-8,38*{\frac {1,05+4,19*tan(32)}{-17,5561}}\thickapprox 1,126$

Der Abwurfwinkel beträgt dann ungefähr:

α $\thickapprox arctan(1,126)\thickapprox 48,4$°

Zyklus 2

Aufgabenstellung:

Tim ist so begeistert von der Effektivität dieser Rechnung für sein Spiel, sodass er überall auf dem Feld davon profitieren möchte, egal wo er steht und ob er beim Abwurf springt oder nicht. Stelle eine Funktion auf, sodass Abwurfhöhe und Entfernung vom Korb variabel verändert werden können.

Folgende Bedingungen sind gegeben:

• Polynom 2. Grades
• f(0) = h
• f(w) = 3,05
• f'(w) = -tan(32)

$f(x)=ax^{2}+bx+c$

$f'(x)=2ax+b$

$I)f(0)=a*0^{2}+b*0+c=h$

→ $c=h$

$II)f(w)=w^{2}*a+w*b+h=3,05$

$III)f'(w)=2*w*a+b=-tan(32)$

Löst man diese Gleichungen nach a und b auf, erhält man:

→ $a={\frac {(3,05-h+w*tan(32))}{-w^{2}}}$

→ $b={\frac {-w*tan(32)+6,1-2h+2w*tan(32)}{w}}$

Somit lautet die vollständige Funktionsgleichung:

$f(x)={\frac {(3,05-h+w*tan(32))}{-w^{2}}}*x^{2}+{\frac {-w*tan(32)+6,1-2h+2w*tan(32)}{w}}*x+h$

Um den Abwurfwinkel zu bestimmen, benötigt man zunächst die Steigung an der Stelle 0.

$f'(0)=2*{\frac {(3,05-h+w*tan(32))}{-w^{2}}}*0+{\frac {-w*tan(32)+6,1-2h+2w*tan(32)}{w}}={\frac {-w*tan(32)+6,1-2h+2w*tan(32)}{w}}$

Der Abwurfwinkel beträgt dann:

α $=arctan({\frac {-w*tan(32)+6,1-2h+2w*tan(32)}{w}})$