Positive Charakteristik/Frobeniuspotenz/Eigenschaften/Fakt/Beweis

Beweis

1. Dies ist eine Umformulierung der Definition.
2. Die Inklusion ${}\supseteq$ ist klar. Es genügt zu zeigen, dass die Idealerzeuger aus Teil (1) mit den angegebenen Erzeugern dargestellt werden kann. Es sei dazu ${}f\in I$. Dann ist

   ${}f=a_{1}f_{1}+\cdots +a_{n}f_{n}\,$

   mit ${}a_{i}\in R$ und somit

   ${}f^{q}=a_{1}^{q}f_{1}^{q}+\cdots +a_{n}^{q}f_{n}^{q}\,,$

   also ${}f^{q}\in (f_{1}^{q},\ldots ,f_{n}^{q})$.

3. Unter der gegebenen Voraussetzung ist

   ${}q'=p^{e'}=p^{e+(e'-e)}=p^{e}p^{e'-e}=qu\,$

   (mit ${}u=p^{e'-e}\geq 1$) und somit

   ${}f^{q'}=f^{qu}={\left(f^{q}\right)}^{u}=f^{q}{\left(f^{q}\right)}^{u-1}\,,$

   also

   ${}f^{q'}\in I^{[q]}\,.$

Zur bewiesenen Aussage