Positive Charakteristik/Frobeniuspotenz/Vergleich mit Potenzen/Fakt/Beweis

Beweis

Die rechte Inklusion ist klar, da die Erzeuger ${}f^{q}$, ${}f\in I$, der Frobeniuspotenzen auch zur gewöhnlichen Potenz ${}I^{q}$ gehören. Die Produkte ${}f_{1}^{r_{1}}\cdots f_{n}^{r_{n}}$ mit

${}r_{1}+\cdots +r_{n}=nq\,$

bilden ein Idealerzeugendensystem von ${}I^{nq}$. Da ${}n$ Summanden vorliegen, muss einer davon größergleich ${}q$ sein. Sagen wir ${}r_{1}\geq q$. Dann ist

${}f_{1}^{r_{1}}\cdots f_{n}^{r_{n}}=f_{1}^{q}\cdot f_{1}^{r_{1}-q}f_{2}^{r_{2}}\cdots f_{n}^{r_{n}}\in I^{[q]}\,.$

Zur bewiesenen Aussage