Positive Charakteristik/Frobeniuspotenz/Vergleich mit Potenzen/Fakt/Beweis

Beweis

Die rechte Inklusion ist klar, da die Erzeuger $f^{q}$ , $f \in I$ , der Frobeniuspotenzen auch zur gewöhnlichen Potenz $I^{q}$ gehören. Die Produkte $f_{1}^{r_{1}} \dots f_{n}^{r_{n}}$ mit

r_{1} + \dots + r_{n} = n q

bilden ein Idealerzeugendensystem von $I^{n q}$ . Da $n$ Summanden vorliegen, muss einer davon größergleich $q$ sein. Sagen wir $r_{1} \geq q$ . Dann ist

f_{1}^{r_{1}} \dots f_{n}^{r_{n}} = f_{1}^{q} \cdot f_{1}^{r_{1} - q} f_{2}^{r_{2}} \dots f_{n}^{r_{n}} \in I^{[q]} .

Zur bewiesenen Aussage