Positive Folgen/Differenz der Quadratfolgen ist Nullfolge/Differenz ist Nullfolge/Aufgabe/Lösung

Es sei ${}\epsilon >0$ vorgegeben. Zu ${}\epsilon ':=\epsilon ^{2}$ gibt es wegen der Nullkonvergenz von ${}x_{n}^{2}-y_{n}^{2}$ ein ${}n_{0}\in \mathbb {N}$ derart, dass

${}\vert {x_{n}^{2}-y_{n}^{2}}\vert \leq \epsilon ^{2}\,$

für alle ${}n\geq n_{0}$ ist. Für diese ${}n$ zeigen wir

${}\vert {x_{n}-y_{n}}\vert \leq \epsilon \,$

durch eine Fallunterscheidung. Wenn

${}x_{n},y_{n}\leq \epsilon \,$

ist, so ist wegen der Positivität direkt ${}\vert {x_{n}-y_{n}}\vert \leq \epsilon$. Es sei also umgekehrt ${}x_{n}\geq \epsilon$ oder ${}y_{n}\geq \epsilon$. Dann ist jedenfalls ${}x_{n}+y_{n}\geq \epsilon$ und somit ${}{\frac {1}{x_{n}+y_{n}}}\leq {\frac {1}{\epsilon }}$. Damit ist unter Verwendung der dritten binomischen Formel

${}{\begin{aligned}\vert {x_{n}-y_{n}}\vert &={\frac {\vert {x_{n}^{2}-y_{n}^{2}}\vert }{x_{n}+y_{n}}}\\&=\vert {x_{n}^{2}-y_{n}^{2}}\vert \cdot {\frac {1}{x_{n}+y_{n}}}\\&\leq \epsilon ^{2}\cdot {\frac {1}{\epsilon }}\\&=\epsilon .\end{aligned}}$

Zur gelösten Aufgabe