Potenz/Produkt/Extrema/Aufgabe/Lösung

1. Es ist

   ${}f(x,y)=x^{y}y^{x}=e^{y\ln x}\cdot e^{x\ln y}=e^{y\ln x+x\ln y}\,.$

   Daher ist

   ${}{\frac {\partial f}{\partial x}}={\left({\frac {y}{x}}+\ln y\right)}e^{y\ln x+x\ln y}\,$

   und

   ${}{\frac {\partial f}{\partial y}}={\left({\frac {x}{y}}+\ln x\right)}e^{y\ln x+x\ln y}\,.$

2. Ein kritischer Punkt liegt genau dann vor, wenn

   ${}{\frac {y}{x}}+\ln y=0\,$

   und

   ${}{\frac {x}{y}}+\ln x=0\,$

   ist. Nehmen wir an, dass dies für einen Punkt ${}(x,y)$ mit ${}y>x$ erfüllt ist. Aus der ersten Gleichung folgt

   ${}\ln y<-1\,$

   und aus der zweiten Gleichung folgt

   ${}\ln x>-1\,.$

   Dann wäre

   ${}\ln y<\ln x\,$

   was wegen der Monotonie des Logarithmus nicht sein kann. Es sei also

   ${}x=y\,.$

   Dann ist ${}\ln x=\ln y=-1$ und somit

   ${}x=y=e^{-1}\,,$

   und ${}\left(e^{-1},\,e^{-1}\right)$ ist in der Tat ein kritischer Punkt.

3. Die Hesse-Matrix ist allgemein gleich

   $e^{y\ln x+x\ln y}{\begin{pmatrix}-{\frac {y}{x^{2}}}+{\left({\frac {y}{x}}+\ln y\right)}^{2}&{\frac {1}{x}}+{\frac {1}{y}}+{\left({\frac {y}{x}}+\ln y\right)}{\left({\frac {x}{y}}+\ln x\right)}\\{\frac {1}{x}}+{\frac {1}{y}}+{\left({\frac {y}{x}}+\ln y\right)}{\left({\frac {x}{y}}+\ln x\right)}&-{\frac {x}{y^{2}}}+{\left({\frac {x}{y}}+\ln x\right)}^{2}\end{pmatrix}}$

   und im kritischen Punkt gleich

   $e^{-2e^{-1}}{\begin{pmatrix}-e&2e\\2e&-e\end{pmatrix}}.$

4. Ein lokales Extremum kann allenfalls in einem kritischen Punkt vorliegen. Im kritischen Punkt sind die Minoren (ohne den positiven Vorfaktor gleich) ${}-e$ und

   ${}e^{2}-4e^{2}=-3e^{2}\,.$

   Beide sind also negativ und somit ist die Hesse-Form indefinit und nach Fakt liegt kein lokales Extremum im kritischen Punkt vor.

Zur gelösten Aufgabe